河南省五市2022届高三理数第二次联合调研考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知： $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 > 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 4}$ ，记 $A - B = {x | x \in A ， x \notin B}$ ，则 $A - B =$ （）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2] ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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2. 设复数 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ （i是虚数单位），则 $| z \cdot \bar{z} + \bar{z} |$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 均为单位向量，若向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{m} + 2 \vec{n} | =$ （）

A、3 B、7 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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4. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A、1 B、3 C、5 D、9

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5. 已知 $Ω = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} < 1}$ ，在 $Ω$ 中任取一点 $P (x ， y)$ ，则事件“ $| x | + | y | < 1$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1 - \frac{2}{π}$ C、 $\frac{2}{π}$ D、 $\frac{π}{2} - 1$

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6. 若对 $\forall x ， y \in R$ 都有 $x + y = s i n x + s i n y$ ，则下列式子不一定成立的是（）

A、 $x + y + s i n x + s i n y = 0$ B、 $s i n x + s i n y = 0$ C、 $x + y = 0$ D、 $x - y = 0$

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7. 已知ξ服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式 ${(a x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 的展开式的常数项为3”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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8. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l₁ ， l₂相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且 $∠ A P B$ 为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 在钝角 $△ A B C$ 中， $s i n A = \frac{2 \sqrt{14}}{9}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，现将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的表达式可以为（）

A、 $g (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = 2 c o s (x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = 2 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$

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11. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路）， $C D$ 段马路由于正在维修，暂时不通，则从 $A$ 到 $B$ 的最短路径有（）

A、33种 B、23种 C、20种 D、13种

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1 - x ， & 0 \leq x \leq 1 \end{array} \\ \begin{array}{l} l n x ， & x > 1 \end{array} \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，且 $a \neq b$ ，则 $b f (a) + a f (b)$ 的最大值为（）

A、0 B、 $(3 - l n 2) \cdot l n 2$ C、1 D、e

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = e^{x} + s i n x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为.

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14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的一动点，则 $A_{1} P + P C$ 的最小值为.

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15. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆恰好与双曲线 $C$ 的两渐近线相切，且该圆过线段 $O F_{2}$ 的中点，则双曲线 $C$ 的离心率是．

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16. 已知函数 $f (x) = l n x - x + 1$ ，则不等式 $(f (x) - f (\frac{1}{3})) (f (2 - x) - f (\frac{1}{3})) > 0$ 的解集为.

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三、解答题

17. 某景区单日接待游客上限为3.5万人，现响应政府号召，推出惠民活动：凡活动期内通过网上预约申请，即可免门票游玩.随着活动的推广，吸引越来越多的人网络预约.该景区统计了活动推出一周内每一天网上预约人次，用 $x$ 表示活动推出的天数， $y$ 表示每天网络预约通过的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
$x$
1
2
3
4
5
6
7
$y$
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
$\bar{y}$
$\bar{v}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$
$1 0^{0.54}$
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中 $v_{i} = l g y_{i} ， \bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i} .$
参考公式：对于一组数据 $(u_{i} ， v_{i})$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n$ ），其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c \cdot d^{x}$ ( $c ， d$ 均为正常数)哪种模型建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程更合适？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表1中的数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，并预测惠民活动推出第12天是否超限？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = 7$ ，且满足： $\frac{S_{n + 2} - S_{n}}{S_{n + 1} - S_{n - 1}} = 3$ ，其中 $n \in N^{*}$ 且 $n > 1$ .

(1)、求 $a_{n + 1} + a_{n}$ .

(2)、求数列 ${(- 1)^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ 平面 A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A C ∩ B D = O$ ， $A C ⊥ B D$ .

(1)、记 $∠ P A D = α$ ， $∠ C A D = β$ ， $∠ P A C = γ$ ，求证： $c o s α \cdot c o s β = c o s γ$ ；

(2)、若 $A D ⊥ C D$ ， $P D = C D = 2 A B = 6$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为 $2$ ，点 $M$ 为椭圆 $C$ 的右顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $P (t ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，实数 $t$ 取何值时以 $A B$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？

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21. 已知函数 $g (x) = l n x + \frac{1}{x}$ ， $h (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

(1)、求函数 $f (x) = a g (x) + h (x) (a \in R)$ 的极值；

(2)、若对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $g (x) \cdot h (x) \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： x + y = 1$ 与曲线 $C_{2} ： {\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s φ \\ y = 2 s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点O为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中，已知射线 $l$ ： $θ = α$ （ $ρ > 0$ ）， $α \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，若 $l$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的公共点分别为 $A$ 、 $B$ ，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 2 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) > 1$ .

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为 $m$ .若正实数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$	$1 0^{0.54}$
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

$x$	1	2	3	4	5	6	7
$y$	6	11	21	34	66	101	196