河南省大联考2022届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $m \in R$ ，若 $z_{1} = - 1 + 2 i$ 与 $z_{2} = m + m i$ 的虚部相等，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $- 6 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $3 - i$ D、 $- 6 + 2 i$

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2. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 均为非零向量，且 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{c}$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 垂直 B、 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 同向 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 反向 D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向

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3. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {y | y = \sqrt{4 - 2^{x}}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 2)$

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4. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）

A、这五个社团的总人数为100 B、脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C、这五个社团总人数占该校学生人数的8% D、从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%

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5. 如图，一个底面边长为 $\frac{2 \sqrt{3 π}}{3}$ cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{17} π c m^{2}$ B、 $4 π c m^{2}$ C、 $3 \sqrt{2} π c m^{2}$ D、 $2 \sqrt{3} π c m^{2}$

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6. 在等比数列 ${a_{n} + 1}$ 中， $a_{2} = 8$ ， $a_{3} = 26$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、80 B、242 C、 $\frac{2197}{8}$ D、244

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7. 若 $a = l g 0.2$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{6} 4$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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8. 若直线 $x = \frac{π}{12}$ 是曲线 $y = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的一条对称轴，且函数 $y = s i n (ω x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{12}]$ 上不单调，则 $ω$ 的最小值为（）

A、9 B、15 C、21 D、33

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9. 已知 $f (x - 1)$ 为定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 0)$ 上单调递增，在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则不等式 $f (2^{x} - 5) < 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， l o g_{2} 6)$ B、 $(- \infty ， 1) ∪ (2 ， l o g_{2} 6)$ C、 $(l o g_{2} 6 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2) ∪ (l o g_{2} 6 ， + \infty)$

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10. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，从 $F_{2}$ 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 $c o s ∠ B A C = - \frac{4}{5}$ ， $A B ⊥ B D$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，现有下面四个命题：
①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值；④三棱锥 $E - A_{1} B D$ 外接球的体积为定值．
其中所有真命题的序号是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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二、多选题

12. 若过点 $P (1 ， λ)$ 最多可作出 $n (n \in N^{*})$ 条直线与函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ 的图象相切，则（）

A、 $λ + n < 3$ B、当 $n = 2$ 时， $λ$ 的值不唯一 C、 $λ n$ 可能等于-4 D、当 $n = 1$ 时， $λ$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{4}{e}) \cup {0}$

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三、填空题

13. 若 $t a n (α - β) = \frac{3}{2}$ ， $t a n β = 2$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (2 ， m)$ 为C上一点，若 $| P F | = 3$ ，则 $m =$ .

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15. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为.

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16. 设 $a = 1.9 4^{6} + 2.0 6^{6}$ ，若 $a \in (n ， n + 1)$ ，则整数n的值为．

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四、解答题

17. 如图，一架飞机从 $A$ 地飞往 $B$ 地，两地相距 $200 k m$ .飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 $θ$ 角的方向飞行，飞行到 $C$ 地，再沿与原来的飞行方向成 $4 5^{∘}$ 角的方向继续飞行 $60 \sqrt{2} k m$ 到达终点.

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两地之间的距离；

(2)、求 $t a n θ$ .

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18. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有 $A$ 、 $B$ 两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从 $A$ 、 $B$ 两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束. $A$ 、 $B$ 两类知识挑战成功分别可获得 $2$ 万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对 $A$ 、 $B$ 两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.

(1)、若记 $X$ 为甲同学优先挑战 $A$ 类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出 $X$ 的分布列；

(2)、为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

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19. 如图，点 $A ， B ， C$ 分别为圆柱下底面圆周上的三个等分点， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 分别为圆柱的三条母线，点 $E ， F$ 分别为母线 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点，且 $A A_{1} = 2 B E = 2 A B = 4 C F$ ，点M是 $A E$ 的中点．

(1)、证明：BM⊥平面 $A E F$ ．

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $B A_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、证明： $e^{x} + \frac{a - x^{2} - 2 x}{x} > f (x)$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且四边形 $A_{1} F_{1} A_{2} F_{2}$ 是面积为8的正方形.

(1)、求C的标准方程.

(2)、M，N为C上且在y轴右侧的两点， $M F_{1} / / N F_{2}$ ， $M F_{2}$ 与 $N F_{1}$ 的交点为P，试问 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中．曲线C的方程为 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ ．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、若A是曲线C上一动点，B是线段 $y = x - 3 (- 2 \leq x \leq 2)$ 上一动点，且直线AB与x轴垂直．求 $| A B |$ 的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 m | + | x + \frac{1}{m} |$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 7$ 的解集．

(2)、证明：当 $m > 1$ 时， $f (x) + \frac{1}{m^{2} - m} \geq 8$ ．

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