河北省唐山市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、{2} D、 ${x | x < 2}$

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2. 已知复数z满足 $(2 + i) z = 3 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 将函数 $f (x) = s i n x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，可以得到（）

A、 $y = s i n x$ 的图象 B、 $y = c o s x$ 的图象 C、 $y = - s i n x$ 的图象 D、 $y = - c o s x$ 的图象

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4. 如图，圆锥的轴为PO，其底面直径和高均为2，过PO的中点 $O_{1}$ 作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）

A、 $2 ： 1$ B、 $5 ： 3$ C、 $3 ： 1$ D、 $8 ： 3$

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5. F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $M (m ， 4)$ 在C上，直线MF交C的准线于点N，则 $| F N | =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、5 D、12

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6. 已知实数x，y满足 $x^{2} + 4 y^{2} = 5$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、6 D、3

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ ，若 $f (2 x) > f (1 - x)$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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8. 已知 $0 < α < β < 2 π$ ，函数 $f (x) = 5 s i n (x - \frac{π}{6})$ ，若 $f (α) = f (β) = 1$ ，则 $c o s (β - α) =$ （）

A、 $\frac{23}{25}$ B、 $- \frac{23}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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二、多选题

9. 已知 ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）

A、n=9 B、 $n = 11$ C、常数项是672 D、展开式中所有项的系数和是-1

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10. 小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：
基于以上统计信息，则（）

A、骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B、骑车时间的众数的估计值是21分钟 C、坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟 D、坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

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11. 双曲线具有如下光学性质：如图 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 $F_{1}$ ．若双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 16$ B、当n过 $Q (7 ， 5)$ 时，光由 $F_{2} \to P \to Q$ 所经过的路程为13 C、射线n所在直线的斜率为k，则 $| k | \in [0 ， \frac{4}{3})$ D、若 $T (1 ， 0)$ ，直线PT与C相切，则 $| P F_{2} | = 12$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，顶点A在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，顶点 $A_{1}$ ， B，C到 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{6}$ ， 1，2，则（）

A、 $B C ∥$ 平面 $α$ B、平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $α$ C、直线 $A B_{1}$ 与 $α$ 所成角比直线 $A A_{1}$ 与 $α$ 所成角大 D、正方体的棱长为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 1)$ ，若 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $x \vec{a} - 6 \vec{b}$ 共线，则实数 $x =$ ．

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14. 若圆 $C ： x^{2} + y^{2} + D x + 2 y = 0$ 的圆心在直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 上，则C的半径为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ， $| a_{n + 1} - a_{n} | = 2$ ，则 ${a_{n}}$ 前5项和的最大值为．

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} l n x$ ， $g (x) = x e^{2 x}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为；若 $a ， b > 0$ ，且 $f (a) = g (b)$ ，则 $a - 2 b$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 20$ ， $a_{3} - a_{1} = 60$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ， $c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} + \frac{b_{n}}{b_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2$ ， $a c o s C + \frac{\sqrt{3}}{3} a s i n C = b$ ．

(1)、求A；

(2)、若点D在BC边上，AD平分 $∠$ BAC，且 $A D = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是 $△ A B C$ 的中心，以EF为折痕把 $△ A E F$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $P G ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．

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20. 目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的．

(1)、A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

(2)、B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门．
①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；
②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为F，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = λ (λ > 1)$ ．

(1)、求 $Γ$ 的离心率；

(2)、如图：直线 $l ： x = m y - 1$ 交椭圆 $Γ$ 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： $| A B | = | C D |$ ；
②若 $λ = 5$ ，求 $△ A B F$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{x + 3}$ ， $g (x) = b s i n x$ ，曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在原点处有相同的切线l．

(1)、求b的值以及l的方程；

(2)、判断函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上零点的个数，并说明理由．

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