河北省秦皇岛市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 4 x - 12 < 0}$ ， $B = {x | 1 < x \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 3]$ D、 $(1 ， 3]$

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2. 已知 $z {(1 - i)}^{2} = 2 - 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $\frac{3}{2} + i$ D、 $2 + i$

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3. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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4. 设 $a = l n 2$ ， $2^{b} = 5$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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5. 直线 $l ： x + y = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y - 3 = 0$ 截得的弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则直线 $B C$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l n x - e^{1 - x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为（）

A、 $y - e^{2} + 1 = 0$ B、 $y + 1 = 0$ C、 $(e^{2} - 1) x - y + e^{2} - 2 = 0$ D、 $2 x + y + 3 = 0$

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8. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为人们了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块各完成一次，则“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（）

A、144 B、72 C、96 D、36

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二、多选题

9. 为了提高全市市民的疫情防控意识，某市抽取了 $1000$ 名市民进行常态化防控知识问卷调查，根据问卷得分制成的频率分布直方图如图所示，问卷得分分组区间是 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、图中 $a$ 的值为0.01 B、得分在80分及以上的人数为250 C、这组数据的极差为50 D、这组数据中位数的估计值（精确到0.1）为71.7

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{6}$ ，与其相邻对称中心的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、 $φ = \frac{π}{3}$

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11. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上一点 $A (1 ， - 4)$ 作两条相互垂直的直线，与 $C$ 的另外两个交点分别为 $M$ ， $N$ ，则（）

A、 $C$ 的准线方程是 $x = - 4$ B、过 $C$ 的焦点的最短弦长为8 C、直线 $M N$ 过定点 $(0 ， 4)$ D、当点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离最大时，直线 $M N$ 的方程为 $2 x + y - 38 = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = l g (\sqrt{x^{2} + 100} - x)$ ， $g (x) = \frac{2}{1 + 2^{x}}$ ， $F (x) = f (x) + g (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(0 ， 1)$ 对称 B、 $g (x)$ 的图象没有对称中心 C、对任意的 $x \in [- a ， a] (a > 0)$ ， $F (x)$ 的最大值与最小值之和为 $4$ D、若 $\frac{F (x - 3) + x - 3}{x - 1} < 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围是 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (- 1 ， m) ， \vec{b} = (2 ， 3)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{3} + a_{9} = 12$ ，则 $a_{13} - \frac{1}{2} a_{20} =$ .

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15. 已知 $α$ 为锐角，且 $t a n α + t a n (\frac{π}{4} - α) = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + 1}{c o s 2 α} =$ .

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A_{1} A = 1$ ， $P$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点，一质点从 $A$ 点出发，沿长方体表面运动到达 $P$ 点处，则质点从 $A$ 到 $P$ 的最短距离为；若沿质点 $A$ 的最短运动路线截长方体，则所得截面的面积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} + 1 = 3 a_{n}$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 为等比数列.

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{3} a_{n + 1} \cdot l o g_{3} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $c o s B - c o s C$ 的取值范围.

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19. 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某调查中心为了调查中学生在考试中有无作弊现象，随机选取150名男学生和150名女学生进行问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生？②你是否在考试中有作弊现象.调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有3个红球，3个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题.第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）.已知统计问卷中有70张答案为“是”.

(1)、根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计中学生在考试中有作弊现象的概率；

(2)、据核实，以上的300名学生中有20名学生在考试中有作弊现象，其中男生15人，女生5人，试判断是否有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
参考公式和数据如下： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
7.879

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P C ⊥ C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、若 $M$ 为 $P D$ 的中点，求二面角 $M - A C - D$ 的大小.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a c o s x + s i n x$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知 $P (- 2 \sqrt{3} ， 0)$ ，若 $△ A B P$ 的外心 $Q$ 的横坐标为0，求直线 $l$ 的方程.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	7.879