河北省九师联盟2022届高三数学4月联考试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} - 8 x + 12 < 0}$ ，则 $A ∪ B$ 中元素的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
2. 已知 $(1 - i) z = i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则 $α ∥ β$ 的一个充分条件是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α$ ， $β$ 垂直于同一个平面 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ ， $β$ 垂直于同一条直线

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2} + 2 ， x < 1 ， \\ - 2 x ， x \geq 1 ， \end{array}$ 则不等式 $f (3) + f (| x | - 4) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 7 ， 7)$ D、 $(- \infty ， - 7) ∪ (7 ， + \infty)$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图象在区间 $(0 ， π)$ 上有且只有1个最低点，则实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{6} ， \frac{7}{2}]$ B、 $(\frac{7}{2} ， \frac{25}{6}]$ C、 $[\frac{11}{6} ， + \infty)$ D、 $(\frac{11}{6} ， \frac{23}{6}]$

查看试题解析
6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点 $A (0 ， b)$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 连接 $A F_{1}$ ，并延长交椭圆于另一点P，若 $| P A | = | P F_{2} |$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

查看试题解析
7. 共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是（）

A、30 B、90 C、75 D、60

查看试题解析
8. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a^{\frac{1}{a}} = b^{\frac{1}{b}}$ ，则（）

A、 $0 < b < 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $1 < b < e$ D、 $1 < a < e$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (8 ， 3 c o s α)$ ．则（）

A、 $s i n α = \frac{1}{3}$ B、 $c o s 2 α = \frac{7}{9}$ C、 $t a n α = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $c o s α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析
10. 某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t（单位：h）均近似服从正态分布，用工艺1加工一个零件所用时间 $X ~ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ；用工艺2加工一个零件所用时间 $Y ~ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ， X，Y的概率分布密度曲线如图，则（）

A、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1}^{2} > σ_{2}^{2}$ B、若加工时间只有ah，应选择工艺2 C、若加工时间只有ch，应选择工艺2 D、 $\forall t_{0} \in (b ， c)$ ， $P (X < t_{0}) > P (Y < t_{0})$

查看试题解析
11. 若函数 $f (2 x + 1)$ （ $x \in R$ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、2是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2021) = 0$ D、 $f (2022) = 0$

查看试题解析
12. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、它的表面积为 $5 + 3 \sqrt{7}$ B、它的外接球的表面积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、侧棱与下底面所成的角为60° D、它的体积比棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体的体积大

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且 $3 \vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

查看试题解析
14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“5局3胜制”，即先胜3局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为0.6，则甲开局获胜并且最终以 $3 ： 1$ 取胜的概率为．

查看试题解析
15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过焦点F且斜率为 $2 \sqrt{6}$ 的直线l交C于A，B两点（其中点A在x轴下方），再过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，C，设 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ A D F$ ， $△ B C F$ 的面积则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ．

查看试题解析
16. 若对于任意的x， $a \in (0 ， + \infty)$ ．不等式 $e^{a x + 2 a b} \geq a^{2} x$ 恒成立，则b的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 某高级中学为了解学生体质情况，随机抽取高二、高三男生各50人进行引体向上体能检测，下图是根据100名学生检测结果绘制的学生一次能做引体向上个数的频率分布直方图．所做引体向上个数的分组区间为 $[0 ， 5)$ ， $[5 ， 10)$ ， $[10 ， 15)$ ， $[15 ， 20)$ ， $[20 ， 25]$ ．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、求这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数．并完善频率分布直方图（即作出“引体向上个数为0~5”所对应的矩形）；

(2)、若男生一次能做引体向上10个或以上为及格，完成下面2×2列联表．并判断能否有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关？

引体向上及格
引体向上不及格
总计
高三男生
50
高二男生
20
50
合计
100

查看试题解析
18. 如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点．且 $A D = 3$ ， $C D = 2$ ， $B D = 5$ ， $c o s C = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $s i n ∠ B A C$ ；

(2)、求△ABC的面积．

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} - n^{2} = n (2 a_{1} + a_{2} - 3)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{2 n} - 113}{3^{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的最大项．

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，二面角 $A - B C - D$ 为直二面角．

(1)、若 $∠ B C D = 90 °$ ，证明：平面ABD⊥平面ACD；

(2)、若 $∠ B C D = ∠ B C A = 45 °$ ， $B C = 4$ ，二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ．求CD的长．

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6} ， 0)$ ．且该双曲线过点 $P (2 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、如图．过双曲线左支内一点 $T (t ， 0)$ 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线 $x = t$ 相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 1 - e l n (a x)$ ， $g (x) = \frac{a}{x} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的极值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若直线l既是曲线 $y = f (x)$ 又是曲线 $y = g (x)$ 的切线，试判断l的条数．

查看试题解析

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	引体向上及格	引体向上不及格	总计
高三男生			50
高二男生		20	50
合计			100