广东省潮州市2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）．

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 2}$ D、 $A = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 2}$

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2. 复数 $z = (2 + i) (1 + 2 i)$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）．

A、 $(5 ， 0)$ B、 $(0 ， 5)$ C、 $(4 ， 5)$ D、 $(- 4 ， 5)$

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3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 $\frac{1}{7}$ ，都是白子的概率是 $\frac{12}{35}$ ，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{12}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{18}{35}$

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4. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为 $36 π$ ，则该圆柱的体积为（）．

A、16π B、27π C、36π D、54π

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5. 若点P是双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 的左、右焦点，则“ $| P F_{2} | = 5$ ”是“ $| P F_{1} | = 9$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 $B (3 ， 4)$ ，若将军从点 $A (- 2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $y = x$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）．

A、5 B、 $3 \sqrt{5}$ C、45 D、 $5 \sqrt{3}$

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7. 已知 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，三棱锥 $P - A B C$ 全部顶点都在表面积为 $16 π$ 的球O的球面上，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）．

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ l n 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - a$ 的两个零点分别在区间 $(- 1 ， 0)$ 和 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 内，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， l n 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(l n 2 ， 1)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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二、多选题

9. 某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（）．

A、1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月 B、1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系 C、1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小 D、1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大

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10. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + 1$ ，则下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $M (π ， 1)$ 是 $f (x)$ 图像的一个对称中心 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 单调递减

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11. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）．

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 为非奇非偶函数 C、过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线方程为 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ D、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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12. 已如斜率为k的直线l经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点且与此抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $| A B | < 8$ ，直线l与抛物线 $y = x^{2} - 4$ 交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（）．

A、 $y_{1} y_{2}$ 为定值 B、 $y_{1} + y_{2}$ 为定值 C、k的取值范围为 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， 4)$ D、存在实数k使得 $| M N | = \sqrt{13 k^{2} + 13}$

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三、填空题

13. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{4} =$ ．

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14. 已知 $\frac{π}{2} < x < π$ ， $s i n x + c o s x = \frac{1}{5}$ ，则 $s i n x - c o s x =$ ．

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15. 设 ${(x - 2)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{4} =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = \frac{x \cdot 2^{x}}{4^{x} + 64}$ ，点 $A_{n} (n ， f (n)) (n \in N_{+})$ 在 $f (x)$ 图象上，点 $A_{0}$ 为坐标原点，设向量 $\vec{i} = (1 ， 0)$ ，若向量 $\vec{a_{n}} = \vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + ⋯ + \vec{A_{n - 1} A_{n}}$ ，且 $θ_{n}$ 是 $\vec{a_{n}}$ 与 $\vec{i}$ 的夹角，则 $t a n θ_{n}$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边， $c = 2 b c o s B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．
① $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；
② $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

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19. 如图，平面 $A B C D E ⊥$ 平面CEFG，四边形CEFG中， $F G ∥ E C$ ， $C G ⊥ E C$ ，点E在正方形ACDE的外部，且 $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = 4$ ， $C G = C E$ ， $F G = 2$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ E F$ ；

(2)、求二面角 $B - F G - E$ 的余弦值．

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20. 我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为 $p$ ，收益率为-10％的概率为 $1 - p$ ；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为-20％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．
附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；

(2)、若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：
年份x
2018
2019
2020
2021
$μ$
1
2
3
4
累计投资金额y（单位：亿元）
2
3
5
6
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于 $μ$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} μ + \hat{a}$ ，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 为左右焦点， $B$ 为短轴端点，长轴长为4，焦距为 $2 c$ ，且 $b > c$ ， $Δ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .
(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程

(Ⅱ)设动直线 $l ： y = k x + m$ 椭圆 $C$ 有且仅有一个公共点 $M$ ，且与直线 $x = 4$ 相交于点 $N$ .试探究：在坐标平面内是否存在定点 $P$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆恒过点 $P$ ?若存在求出点 $P$ 的坐标，若不存在.请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a (x - 1)}{x + 2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1]$ 内单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若 $t_{1} ， t_{2} \in R$ ，且 $t_{1} < t_{2}$ ，求证： $\frac{t_{1} - t_{2}}{e^{t_{1}} - e^{t_{2}}} > \frac{1}{e^{t_{1}} + 2 e^{t_{2}}}$ ．

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年份x	2018	2019	2020	2021
$μ$	1	2	3	4
累计投资金额y（单位：亿元）	2	3	5	6