广东省2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x (x - 2) < 0} ， N = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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2. 定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $y = e^{| x |}$ D、 $y = 2 x^{3}$

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3. 已知随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (μ ≤ X ≤ μ + 1) = 0.2$ ，则 $P (X ≥ μ - 1) =$ （）

A、0.7 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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4. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（）

A、24 B、36 C、60 D、240

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5. 若函数 $y = \sqrt{6} s i n ω x$ 与 $y = \sqrt{6} c o s ω x$ 图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、π

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6. 赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角 $α$ ，另一对直角三角形含有锐角 $β$ （位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（）

A、 $s i n (α - β) = s i n α c o s β - c o s α s i n β$ B、 $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ C、 $c o s (α - β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ D、 $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$

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7. 已知抛物线E： $y^{2} = 4 x$ ，圆F： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $y = t$ （t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 存在函数 $f (x)$ 使得对于 $\forall x \in R$ 都有 $f (g (x)) = | x |$ ，则函数 $g (x)$ 可能为（）

A、 $g (x) = s i n x$ B、 $g (x) = x^{2} + 2 x$ C、 $g (x) = x^{3} - x$ D、 $g (x) = e^{x} + e^{(- x)}$

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二、多选题

9. 已知复数z的共轭复数是 $\bar{z}$ ， $(1 - i) z = 1 + i$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $z^{2022} = 4$ B、 $z \cdot \bar{z}$ 的虚部是0 C、 $| z \cdot \bar{z} + 2 z | = \sqrt{5}$ D、 $z \cdot \bar{z} + 2 z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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10. 吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， $r^{'} (V)$ 为r（V）的导函数．已知r（V）在 $0 ≤ V ≤ 3$ 上的图象如图所示，若 $0 ≤ V_{1} < V_{2} ≤ 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{r (1) - r (0)}{1 - 0} < \frac{r (2) - r (1)}{2 - 1}$ B、 $r' (1) > r' (2)$ C、 $r (\frac{V_{1} + V_{2}}{2}) < \frac{r (V_{1}) + r (V_{2})}{2}$ D、存在 $V_{0} \in (V_{1} ， V_{2})$ ，使得 $r^{'} (V_{0}) = \frac{r (V_{2}) - r (V_{1})}{V_{2} - V_{1}}$

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11. 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，已知扇形OAB的半径为1， $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且 $C D = 1$ ，点E为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O E} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为0 B、 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值为 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\vec{E C} \cdot \vec{E D}$ 的最大值为1 D、 $\vec{E C} \cdot \vec{E D}$ 的最小值为0

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三、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± $\sqrt{3}$ x，则它的离心率为．

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14. 若直线 $y = x + a$ 和直线 $y = x + b$ 将圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的周长四等分，则 $| a - b | =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s (x + φ)$ 的最大值为1，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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16. 十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具．如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为．

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四、解答题

17. 已知递增等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 a_{2} = a_{1} a_{3}$ ， $S_{3} = 14$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{k} ， n = 3 k \\ k ， 3 (k - 1) < n < 3 k \end{array} (k \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前15项和．

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18. 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 $\frac{1}{2}$ ，第二个路口遇到红灯的概率是 $\frac{2}{3}$ ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

(1)、若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．

(2)、假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．

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19. 如图，已知△ABC内有一点P，满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ．

(1)、证明： $P B s i n A B C = A B s i n α$ ．

(2)、若 $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A B = B C = 1$ ，求PC．

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20. 如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面ABC．

(2)、若 $A E = 2$ ，二面角D-AC-E为 $\frac{π}{6}$ ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F (1 ， 0)$ 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 $l_{1}$ 交椭圆于M，N两点，当 $l_{1}$ 与x轴垂直时， $| M N | = 3$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为椭圆的左、右顶点，直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 分别与直线 $l_{2}$ ： $x = 1$ 交于P，Q两点，证明：四边形 $O P A_{2} Q$ 为菱形．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{n x} - n x$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．

(1)、求点P处的切线方程 $y = g (x)$ ，并证明： $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ．

(2)、若关于x的方程 $f (x) = t$ （t为实数）有两个正实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | < \frac{2 t}{n l n n} + \frac{l n n}{n}$ ．

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