甘肃省兰州市2022届高三理数诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设i为虚数单位，若复数 $(1 + i) (1 + a i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 已知集合 $M = {y | y = s i n x ， x \in R}$ ， $N = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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3. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ （）

A、6 B、 $3 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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4. 圆 $x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ 的圆心到直线 $y = x$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{35}$

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6. 已知一个半径为 $4$ 的扇形圆心角为 $θ (0 < θ < 2 π)$ ，面积为 $2 π$ ，若 $t a n (θ + φ) = 3$ ，则 $t a n φ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - l o g_{2} (a x)$ ，若 $f (- 4) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、1

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8. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P C$ 为其外接球 $O$ 的直径， $P A = P B$ ，若 $D$ 为棱 $A B$ 上与 $A$ ､ $B$ 不重合的一点，则 $∠ P D C$ （）

A、必为锐角 B、必为直角 C、必为钝角 D、无法确定

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9. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[a ， b]$ 上单调，且值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ ， $b - a = π$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 如图所示直三梭柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于圆柱 $O O_{1}$ 之中，圆柱的体积为 $\sqrt{3} π$ ，侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，若三棱柱的体积为 $V$ ，则 $V$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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11. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > \sqrt{2})$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $A$ 为曲线 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ 在第一象限的交点，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为2，若椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，则 $4 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为（）

A、9 B、 $\frac{9}{2}$ C、7 D、 $\frac{7}{2}$

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12. 若函数 $y = f (x)$ 在其定义域内存在 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 2$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有 $D$ 性质.在函数① $y = 2 s i n x c o s x$ ， ② $y = | x^{2} - x - 2 |$ ， ③ $y = e^{- x^{2} + x - 1}$ ， ④ $y = \frac{l n x}{x}$ 中，不具有 $D$ 性质的是（）

A、②③ B、①④ C、③④ D、①③

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二、填空题

13. 在 ${(2 \sqrt{x} + a)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为-10，则实数 $a =$ .

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14. 为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标．下图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，由图中数据可以得到y关于年份序号x的回归直线方程： $\hat{y} = 0.0132 x + 0.179$ ，根据回归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为%．

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15. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 $(2 b - c) c o s A - a c o s C = 0$ ， $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影是 $| \vec{A C} |$ 的 $\frac{2}{3}$ ， △ABC的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ ．

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16. 若曲线 $y = l n (x + b)$ 与直线 $y = k (x + 1)$ 相切，则实数 $b$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 在① $\frac{S_{5}}{S_{9}} = \frac{1}{3}$ ， ② $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知公差d不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 6$ ．

(1)、___________，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ， $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.下表是初中八年级 $A$ 学科的判断标准.
日均作业时间（分钟）
$[0 ， 4)$
$[4 ， 8)$
$[8 ， 12)$
$[12 ， 16)$
不低于16分钟
判断标准
过少
较少
适中
较多
过多
之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级 $A$ 学科的作业时间作为样本，得到 $A$ 学科日均作业时间的频数分布表见下表.
日均作业时间（分钟）
$[4 ， 8)$
$[8 ， 12)$
$[12 ， 16)$
$[16 ， 20)$
$[20 ， 24]$
学校数
2
3
10
10
5

(1)、请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成 $A$ 学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；

(2)、①若 $A$ 学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，以样本频率估计概率，求该市任一所初中学校八年级 $A$ 学科作业超量的概率；
②若为了对该市初中八年级 $A$ 学科作业的布置情况做进一步研究，需再从该市所有初中学校中抽取3所进行研究，用 $X$ 表示抽取的3所学校中八年级 $A$ 学科“作业超量”的个数.求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，点E为校PC上一点（与P､C不重合），点M､N分别在棱PD､PB上，平面 $E M N ∥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B D ∥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若 $E$ 为 $P C$ 中点， $P C = B C = B D = 2$ ， $∠ P B C = \frac{π}{4}$ ， $P C ⊥ B D$ ，求二面角 $E - M N - A$ 的正弦值.

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20. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，直线 $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} b$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $A$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $M 、 N$ 两点，当直线 $M N$ 与x轴垂直时， $| M N | = 3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当直线 $A M ､ A N$ 分别与直线 $x = 4$ 交于 $P ､ Q$ 两点，求 $△ A P Q$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - s i n x ， e$ 为自然对数的底数

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1 - x - s i n x$ ，求实数 $a$ 的最大值；

(3)、证明：当 $a < \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取极小值.

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22. 平面直角坐标系下，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 t^{2} - 1 ， \\ y = 4 t \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α ， \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、过极点的直线l与曲线 $C_{1}$ 交于A、B两点，与曲线 $C_{2}$ 交于M、N两点，求 $| A B | - | M N |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - t | + 2 | x + t |$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 6$ ；

(2)、当 $t > 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $6$ ，且正数 $a ， b$ 满足 $a + b = t$ ．求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值．

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日均作业时间（分钟）	$[0 ， 4)$	$[4 ， 8)$	$[8 ， 12)$	$[12 ， 16)$	不低于16分钟
判断标准	过少	较少	适中	较多	过多