福建省三明市普通高中2022届高三数学5月质量测试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设实数集为R，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \geq 0}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ， $z = 1 + i$ ，则 $z (\bar{z} + 1) =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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3. 若 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (π - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 已知 $a > 0$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $a^{a} > a^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = 1 . 1^{0.1}$ ， $b = l n \frac{π}{4}$ ， $c = s i n 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（）

A、 $\frac{9}{64}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{27}{32}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} + a_{n + 1} = 2 n^{2} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{2022} = 4048$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、-8 B、-3 C、-2 D、8

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - a x l n x - e^{x}$ 有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、多选题

9. ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则（）

A、n=9 B、常数项为84 C、各项系数的绝对值之和为512 D、系数最小项为第5项

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10. 将函数 $f (x) = s i n (π x + φ)$ （ $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象沿x轴向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 关于直线 $x = - \frac{3}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{3}{4} ， \frac{1}{4})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在区间 $(2022 ， a)$ 上存在零点和极值点，则整数a的最小值为2023

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11. 已知直线l： $k x - y - k + 1 = 0$ 与圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ 相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）

A、 $| A B |$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$ B、若圆C关于直线l对称，则 $k = 3$ C、若 $∠ A C B = 2 ∠ C A B$ ，则 $k = 1$ 或 $k = - \frac{1}{7}$ D、若A，B，C，O四点共圆，则 $k = - \frac{1}{3}$

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12. 已知棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，点P在正方体的表面上运动，且总满足 $\vec{M P} \cdot \vec{M C} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、点P的轨迹所围成图形的面积为5 B、点P的轨迹过棱 $A_{1} D_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的四等分点 C、点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6 D、直线 $B_{1} C_{1}$ 与直线MP所成角的余弦值的最大值为 $\frac{3}{5}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} ， x \leq 0 \\ l o g_{3} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ .

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14. 若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ， $t a n ∠ A B F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. 《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整除以三余二，除以五余三､除以七余二，求这个整数.设这个整数为a，当 $a \in [2 ， 2^{10}]$ 时，符合条件的a的个数为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $a_{5} = 32$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ .Q为BC的中点.

(1)、求AQ的长；

(2)、P是线段AC上的一点，当AP为何值时， $∠ A Q P = \frac{π}{4}$ .

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19. 为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身､处世､治国､理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动.竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题.其中每答对1题“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分.每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回答（每个题抽后不放回），要求“道”题中至少抽2题作答.已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为 $\frac{2}{5}$ .

(1)、若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；

(2)、若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？

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20. 如图，在五面体ABCDE中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $E D ∥ A C$ ，且 $A C = B C = A E = 2 E D = 2$ ， $D C = D B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面ABC；

(2)、线段BC上是否存在点F，使得二面角 $B - A E - F$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点， $F (1 ， 0)$ ，过直线l： $x = 4$ 左侧且不在x轴上的动点P，作 $P H ⊥ l$ 于点H， $∠ H P F$ 的角平分线交x轴于点M，且 $| P H | = 2 | M F |$ ，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知曲线C与x轴正半轴交于点 $A_{1}$ ，过点 $S (- 4 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 交C于A，B两点， $\vec{A S} = λ \vec{B S}$ ，点T满足 $\vec{A T} = λ \vec{T B}$ ，其中 $λ < 1$ ，证明： $∠ A_{1} T B = 2 ∠ T S O$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (1 + x) e^{a x} - 1$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ ， $x \in (0 ， π)$ 时，证明： $f (x) > x c o s x - 2 s i n x + 2 x$ .

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