北京市东城区2022届高三数学模拟测试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R$ ， $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x ≥ 3}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$

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2. 已知 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = l n π$ ， $c = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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3. 在 $(1 - 2 x)^{5}$ 的展开式中，第4项的系数为（）

A、-80 B、80 C、-10 D、10

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4. 将函数 $y = c o s (2 x - \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = s i n 2 x$ B、 $y = - s i n 2 x$ C、 $y = c o s 2 x$ D、 $y = - c o s 2 x$

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5. 《周牌算经》中对圆周率 $π$ 有“径一而周三”的记载，已知两周率 $π$ 小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{33}{95}$ C、 $\frac{21}{100}$ D、 $\frac{7}{20}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为C右支上一点．若 $C$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 4 y = 0$ ，则 $\frac{| F_{1} F_{2} |}{| P F_{2} | - | P F_{1} |} =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 已知 $α$ ， $β \in R$ 则“ $s i n (α + β) = s i n 2 α$ ”是“ $β = α + 2 k π (k \in Z)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知点 $P (c o s θ ， s i n θ)$ 在直线 $a x - y + 3 = 0$ 上．则当 $θ$ 变化时，实数a的范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}] ∪ [2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 3] ∪ [3 ， + \infty)$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 与等比数列 ${b_{n}}$ 的首项均为－3，且 $a_{3} = 1$ ， $a_{4} = 8 b_{4}$ ，则数列 ${a_{n} b_{n}}$ （）

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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10. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则线段 $A D_{1}$ 上的动点P到直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $z =$ ， $| z | =$ ．

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12. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $\frac{f^{'} (x)}{x^{2} - 1} > 0$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间为；满足以上条件的一个函数是．

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13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} =$ ．

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $P$ 为C上一点， $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若 $∠ P O Q = 45 °$ ，则 $c o s ∠ P F Q =$ ．

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15. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 $r (r > 0)$ ，劳累程度 $T (0 < T < 1)$ ，劳动动机 $b (1 < b < 5)$ 相关，并建立了数学模型 $E = 10 - 10 T \cdot b^{- 0.14 r}$ ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B + b c o s A = \sqrt{2} c c o s C$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求c和 $s i n A$ 的值．
条件①： $a = 2 \sqrt{2}$ ， $A C$ 边上中线的长为 $\sqrt{5}$ ；
条件②： $b = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为6；
条件③： $c o s B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $A C$ 边上的高 $B D$ 的长为2．

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17. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如图所示．

(1)、从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

(2)、从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有 $X$ 年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求 $X$ 的分布列和数学期望：

(3)、由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

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18. 如图，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $D$ 、 $O$ 分别为 $P A$ 、 $A C$ 的中点， $A C = 8$ ， $P A = P C = 5$ ．

(1)、设平面 $P B C ∩$ 平面 $B O D = l$ ，判断直线l与 $P C$ 的位置关系，并证明；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $B O D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2 a^{2}}{x} + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [e ， + \infty)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在 $x$ 轴的上方，求实数a的取值范围．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过点 $P (6 ， 0)$ 与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线 $A B$ ， $A C$ 分别交直线 $x = 6$ 于点M，N．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设O为原点．求证： $∠ P A N + ∠ P O M = 90 °$ ．

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21. 对于数列 $A ： a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (n \geq 3)$ ，定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T (A) ： a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ ， $a_{1}$ ，记 $T^{1} (A) = T (A)$ ， $T^{m} (A) = T (T^{m - 1} (A))$ ， $m \geq 2$ ．对于数列 $A ： a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 与 $B ： b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n}$ ，定义 $A \cdot B = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ ．若数列 $A ： a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (n \geq 3)$ 满足 $a_{i} \in {- 1 ， 1} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，则称数列 $A$ 为 $ℜ_{n}$ 数列．

(1)、若 $A ： - 1 ， - 1 ， 1 ， - 1 ， 1 ， 1$ ，写出 $T (A)$ ，并求 $A \cdot T^{2} (A)$ ；

(2)、对于任意给定的正整数 $n (n \geq 3)$ ，是否存在 $ℜ_{n}$ 数列 $A$ ，使得 $A \cdot T (A) = n - 3 ?$ 若存在，写出一个数列 $A$ ，若不存在，说明理由：

(3)、若 $ℜ_{n}$ 数列 $A$ 满足 $T^{k} (A) \cdot T^{k + 1} (A) = n - 4 (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n - 2)$ ，求数列A的个数．

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