安徽省2022届高三下学期理数高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A ∩ B$ 的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

查看试题解析
2. 已知i是虚数单位，则复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ 在复平面上所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A、14 B、20 C、 $10 + 2 \sqrt{5}$ D、 $16 + 2 \sqrt{5}$

查看试题解析
4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为4，若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、8 B、-8 C、10 D、14

查看试题解析
5. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

查看试题解析
6. 若 $t a n \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\pm \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

查看试题解析
7. 在区间 $(0 ， 1)$ 上任取两个数，则两个数之和小于 $\frac{6}{5}$ 的概率是（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{18}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{17}{25}$

查看试题解析
8. 非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = a c o s (\frac{π}{3} x - \frac{π}{6}) + b [2^{x - 2} - {(\frac{1}{2})}^{x - 2}] + 1$ ，则 $f (- l o g_{\sqrt{2}} 3) + f (l o g_{\sqrt{2}} 12) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

查看试题解析

10. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

黄赤交角	$23 ° 41^{'}$	$23 ° 57^{'}$	$24 ° 13^{'}$	$24 ° 28^{'}$	$24 ° 44^{'}$
正切值	0.439	0.444	0.450	0.455	0.461
年代	公元元年	公元前2000年	公元前4000年	公元前6000年	公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是

A、公元前2000年到公元元年 B、公元前4000年到公元前2000年 C、公元前6000年到公元前4000年 D、早于公元前6000年

查看试题解析

11. $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上一点，点 $N$ 在 $x$ 轴上，满足 $∠ F_{1} M N = ∠ F_{2} M N = 60 °$ ，若 $3 \vec{M F_{1}} + 5 \vec{M F_{2}} = λ \vec{M N}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{4}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = a x - l n x (a \in R)$ 有两个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 x_{1} < x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{l n 2}{2})$ B、 $(0 ， \frac{l n 2}{2})$ C、 $(\frac{l n 2}{2} ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{l n 2}{2} ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ x - 3 y - 2 < 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值是.

查看试题解析
14. ${(x^{2} - 2 x + 3 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为.

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $1 + \frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{5} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2 n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} =$ .

查看试题解析
16. 梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ C B A = 90 °$ ， $D C = 2 B C = 4$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上，且 $D E ∥ B C$ ，以 $D E$ 为折痕将 $△ A D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且二面角 $P - D E - B$ 等于 $\frac{2}{3} π$ ，当 $P B = 6$ 时，四棱锥 $P - E B C D$ 外接球的表面积为.

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $s i n B - 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{A + C}{2} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - c$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 某高校为了完善就业工作体系，强化就业平台建设，做好各项就业指导服务工作.在今年的毕业生中随机抽取100名进行问卷调查，得到下面表格：

本科生
研究生（包括研士生和博士生）
合计
准备就业
20
65
不准备就业
合计
60
100

(1)、能否有99%的把握认为毕业生学历对他是否准备就业有差异；
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)、该校准备从参与问卷调查的毕业生中随机选取2人参加毕业生座谈会，设选到本科生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

查看试题解析
19. 如图所示，正方形 $A B E P$ 与矩形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $A B = 4$ ， $A D = 5$ ，点 $F$ 为 $B C$ 边上的动点，点 $G$ 为 $D F$ 的中点.

(1)、当平面 $P D F ⊥$ 平面 $P A G$ 时，求 $B F$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求二面角 $D - P F - E$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 点 $O$ 为坐标原点，过点 $C (4 ， 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、动点 $M$ ， $N$ 为抛物线在第一象限内两点，且直线 $M C$ 与直线 $N C$ 的倾斜角互补，求证： $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 是定值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1)$ ， $g (x) = a x e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $h (x) = x^{2} - x - 2 f (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t^{2} - 2 t \\ y = t^{2} - 1 \end{array}$ （ $t$ 为参数）.已知曲线 $C_{2}$ 与 $x$ ， $y$ 正半轴分别相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求出 $A ， B$ 两点的直角坐标；

(2)、若过原点 $O$ 且与直线 $A B$ 垂直的直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $P$ 点，与直线 $A B$ 交于 $Q$ 点，求线段 $P Q$ 的长度.

查看试题解析
23. 已知 $f (x) = | x + 4 | - | x - m |$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $f (x) < m$ 的解集；

(2)、若 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ， $a b c = 1$ ，对于 $\forall x \in R$ ， ${(a + b)}^{2} + {(a + c)}^{2} + {(b + c)}^{2} ≥ f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析

	本科生	研究生（包括研士生和博士生）	合计
准备就业	20		65
不准备就业
合计		60	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828