“皖豫名校联盟体”2022届高中毕业班理数第三次考试试卷

试卷更新日期：2022-05-11 类型：高考模拟

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一、单选题.

1. 已知集合 $A = {3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13 ， 17}$ ， $B = {x | x = 4 n + 1 ， n \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${5 ， 9 ， 11}$ B、 ${5 ， 9 ， 11 ， 17}$ C、 ${5 ， 13 ， 17}$ D、 ${5 ， 9 ， 13 ， 17}$

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2. 已知 $z + 2 - i = z (2 + i)$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 已知 $a = 0 . 8^{\frac{2}{3}}$ ， $b = l o g_{9} \frac{2}{3}$ ， $c = 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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4. 对某位同学5次体育测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下表格：

第x次

1

2

3

4

5

测试成绩y

39

40

48

48

50

根据上表，可得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $\hat{a} = 36$ B、这5次测试成绩的方差为20.8 C、y与x的线性相关系数 $r < 0$ D、预测第6次体育测试的成绩约为54

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $18 π + 12$ B、 $20 π + 12$ C、 $18 π + 16$ D、 $20 π + 16$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6} = 17$ ， $S_{5} = a_{2} a_{3}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、28 B、30 C、32 D、35

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7. 某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系 $p = p_{0} e^{- k h}$ ，其中 $k = 0.000126$ ， $p_{0}$ 是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ，且 $\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{1}{2}$ ，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（）
（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ）

A、4900m B、5500m C、6200m D、7400m

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8. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为 $(4 ， 2)$ ，则点F到直线l的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} (x + \frac{π}{12}) + s i n^{2} (x + \frac{π}{4})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 图象的一个对称中心为（）

A、 $(- \frac{7 π}{12} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{π}{12} ， 1)$ C、 $(\frac{π}{12} ， 1)$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{1}{2})$

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10. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- \sqrt{7} ， \sqrt{7}]$ D、 $[- 3 ， 3]$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，渐近线上一点P满足 $\vec{P O} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ （O坐标原点）， $∠ O P F_{1} = 30 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，△ABC是边长为2的等边三角形， $P A = 4$ ， $P B = P C = 2 \sqrt{3}$ ，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9} π$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为．

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14. 已知 ${(x + a)}^{7} (\frac{1}{x^{3}} - 2)$ 的展开式中各项系数和为-128，则该展开式中 $x^{3}$ 的系数是．

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15. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $2 s i n C = c s i n B$ ， $a c o s B - c = 1$ ， △ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ ．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = - l o g_{2} (x + 1)$ ．设 $g (x) = | f (x) | + f (| x |)$ ，若关于x的方程 $g (x) - m x - 2 = 0$ 有5个不同的实根，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} + a_{n} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${(2 n + 1) a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} T_{n} - 2 S_{n} < 1$ ．

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18. 如图所示，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD为矩形， $C D = 2 A D = 4$ ，四边形 $A_{1} A D D_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A D = 60 °$ ，平面 $A_{1} A D D_{1} ⊥$ 平面ABCD，点E为线段AB的中点，M为线段AE的中点．

(1)、证明： $C E ⊥ A_{1} M$ ；

(2)、求平面 $A_{1} C_{1} E$ 与平面 $C C_{1} E$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办，某学校随机调查了部分学生，统计他们观看开幕式的时长（单位：min）情况，样本数据按照 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图

(1)、估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；

(2)、由频率分布直方图可知该校学生观看开幕式的时长X近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ （其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ$ 取10.8），求该校学生观看开幕式的时长位于区间 $(56.8 ， 89.2)$ 内的概率；

(3)、从该校所有学生中随机选取3人，记观看开幕式不少于80min的人数为Y，用样本中各区间的频率代替每名学生观看时长位于相应区间的概率，求Y的分布列和期望．
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当 $P F ⊥ x$ 轴时，△APF的面积为 $\frac{16}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线AP交直线l： $x = 9$ 于点Q，直线l与x轴交于点T，证明： $∠ P F Q = ∠ Q F T$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - 3 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若不等式 $f (x) ≥ m x^{2} - 3 x + \frac{2}{m}$ 恒成立，求实数m的最小值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t - 6 \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ - \frac{3}{ρ} = 6 s i n θ - 4 c o s θ$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、过 $C_{1}$ 上一点P作 $C_{2}$ 的一条切线l，切点为Q，当 $| P Q |$ 最小时，求△ $C_{2} P Q$ 外接圆的参数方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 3 | - | 2 x - 6 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq x - 4$ 的解集；

(2)、设 $f (x)$ 的最小 $f (x)$ 为m，若正实数a，b，c满足 $a + b + c = - m$ ，求 $\frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b}$ 的最小值．

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第x次	1	2	3	4	5
测试成绩y	39	40	48	48	50