黑龙江省哈尔滨市平房区2022年中考调研测试（一）数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列运算一定正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a \cdot a^{3} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$

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3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若 $∠ D = 40 °$ ，则∠A的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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6. 方程 $\frac{3}{x - 1} = \frac{1}{2 x + 3}$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 3$ D、 $x = - 3$

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7. 如图，将等边 $△ A B C$ 沿着BD折叠，点C落到点E处，连接AE，若 $∠ D B C = 36 °$ ，则∠EAB的度数为（）

A、84° B、80° C、72° D、68°

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8. 一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个黑球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ A C$ ， $B D = 2$ ， $A D = D E = 4$ ，则AC的长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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10. 如图，已知A、B两地相距20km，甲从A地出发到B地，一段时间后，乙从B地出发到A地，甲、乙两人离A地的距离 $s (k m)$ 与甲所用的时间 $t (h)$ 之间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地（）

A、8km B、10km C、12km D、14km

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二、填空题

11. 中国第一个空间站“天宫一号”距离地球约370000米，用科学记数法表示为米．

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12. 在函数 $y = \frac{x}{x - 3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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13. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(5 ， - 1)$ ，则k的值为．

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14. 计算 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果是．

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15. 把多项式 $m n^{2} - 9 m$ 分解因式的结果是．

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16. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 7$ 的顶点坐标为．

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17. 不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} \geq - 3 \\ 5 - 2 x < 1 \end{array}$ 的解集是．

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18. 在正方形ABCD中，点E在边CD上， $D E ： E C = 1 ： 3$ ，点F是正方形边上一点， $B F = A E$ ，则 $t a n ∠ A B F$ 的值为．

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19. 一个扇形的弧长是 $12 π$ ，圆心角是135°，则此扇形的半径是．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中， $A E ⊥ B C$ 于点E，DF平分∠ADC交AE于点F，若 $A D = A E$ ， $B E = 3 \sqrt{2}$ ， $A F = 5 \sqrt{2}$ ，则CD的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{4}{a + 2} - \frac{3 a - 5}{a^{2} - 4}) \div \frac{a - 3}{a + 2}$ 的值，其中 $a = 3 t a n 30 ° + 4 c o s 60 °$ ．

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22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度， $△ A B C$ 的顶点、点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在方格纸中画出 $△ A B C$ 关于点D成中心对称的 $△ M N P$ （点A的对称点是点M，点B的对称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；

(2)、在方格纸中画出以EF为斜边的 $R t △ E F G$ ，且 $t a n ∠ G F E = 2$ ，点G在小正方形的顶点上．连接NG，请直接写出线段NG的长．

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23. 中国在2022年北京冬奥会冰上项目获得六枚奖牌，掀起校园冰上运动热潮．云溪中学开展“我最喜欢的冰上运动项目”为主题的调查活动，围绕“在短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球五种冰上运动项目中，你最喜欢的是哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢花样滑冰的学生人数占所调查人数的15%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

(2)、请通过计算补全条形统计图；

(3)、若云溪中学共有2400名学生，请你估计该中学最喜欢短道速滑的学生共有多少名．

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24. 已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE， $E F ⊥ A E$ 交CD于点F，且 $A E = E F$ ．

(1)、如图1，求证： $C E = C D$ ；

(2)、如图2，当F为CD中点时，过点D作 $D Q ⊥ E F$ ，交EF的延长线于点Q，延长DQ、BC交于点H，连接AC、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的三角形的面积都是 $△ A B E$ 面积的3倍．

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25. 海华中学为了养成学生良好的卫生习惯，决定采购一批某品牌A、B两种型号洗手液共350瓶，经市场调查发现，若购买1个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需40元，若购买2个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需50元．

(1)、求A、B两种型号的洗手液的单价各是多少元；

(2)、由于购买数量较多，商家决定，A型号的洗手液保持原价不变，B型号的洗手液打八折出售，若购买洗手液的总费用不超过4000元，那么至少需要购买A型号的洗手液多少瓶？

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26. 已知：⊙O是 $△ A C D$ 的外接圆，直径AB交CD于点E．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C + ∠ B A C = 90 °$ ；

(2)、如图2，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点G，交⊙O于点F，连接BF，若DC平分∠ADF，求证： $B E = B F$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，过点E作 $E K ∥ B F$ 交DG于点K，在BF上取一点N，连接KN、GN，使 $∠ E K N + ∠ A D C = 90 °$ ，若 $E K = 20$ ， $O G = 7$ ，求线段GN的长．

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27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点．抛物线 $y = a x^{2} + b x - 8$ 分别交x轴于点 $A (- 4 ， 0)$ 、点 $B (8 ， 0)$ ，交y轴于点C．

(1)、如图1，求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点P为抛物线第二象限上的点，连接BP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，CD的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点F、N分别在BD、OA上，连接NF，且 $N F = O D$ ，点E在OC上，连接NE、FE， $∠ F N O + 2 ∠ B N E = 180 °$ ，点K在FN上，且 $E K = F K$ ．当 $∠ F N O = 2 ∠ K F E$ ， $B D = 2 E K$ 时，求点P坐标．

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