天津市南开区2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $(- 30) \div 5$ 的结果等于（）

A、-25 B、-35 C、6 D、-6

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2. $2 c o s 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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3. 电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（）

A、57.7×10⁸ B、5.77x10⁸ C、5.77×10⁹ D、5.77×10¹⁰

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4. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设n为正整数，且 $n < \sqrt{66} < n + 1$ ，则n的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 计算 $\frac{2 x - 1}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ 的结果为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{3 x}{x - 1}$ D、 $\frac{x + 1}{x - 1}$

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8. 方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 1 \\ 2 x - y = - 4 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array}$

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9. 如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（）

A、（13，7） B、（14，6） C、（15，5） D、（15，3）

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10. 已知反比例函数 $y = \frac{- a^{2} - 3}{x}$ （a为常数）图象上三个点的坐标分别是 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ， C (x_{3} ， y_{3})$ ，其中 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系的是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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11. 如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ， $O A = O B$ ，动点C从点О出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边 $△ A C D$ ，连接BD，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $∠ O B D = 120 °$ B、 $O A / / B D$ C、 $C B + B D = A B$ D、 $A B$ 平分 $∠ C A D$

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(0 ， 3)$ ，对称轴在y轴右侧，则下列结论：① $a < 0$ ；②抛物线经过 $(1 ， 0)$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 有两个不相等的实数根：④ $- 3 < a + b < 3$ ．正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 计算（﹣2a）²﹣2a² ，结果是.

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14. 计算 ${(3 - \sqrt{6})}^{2}$ 的结果是．

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15. 一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．

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16. 已知一次函数 $y = - x - 2$ 的图象向上平移b个单位后经过第一象限，请你写出一个符合条件的b的值为．

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17. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 的顶点A、B、C均落在格点上．

(1)、 $△ A B C$ 的周长为．

(2)、请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上确定一点M，使以点M为圆心，以MC为半径的 $⊙ M$ 与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ▲ ．

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19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 - 2 (x - 2) \leq 9 ① \\ \frac{3 x - 2}{4} < 1 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动.为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的学生人数为，图①中 $m$ 的值为；

(2)、求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有 $1200$ 名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数.

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21. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = A C ， ∠ B A C = 42 °$ ，点D是 $⊙ O$ 上一点．

(1)、如图①，若BD为 $⊙ O$ 的直径，连接OD，求 $∠ D B C$ 和 $∠ A C D$ 的大小；

(2)、如图②，若 $C D$ // $B A$ ，连接 $A D$ ，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $O C$ 的延长线交于点E，求 $∠ E$ 的大小．

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22. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边 $B$ ， $C$ 两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $161.6 m$ ，此时从无人机测得岸边 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $B E = 1.6 m$ ， $E A = 200 m$ （点 $A$ ， $E$ ， $B$ ， $C$ 在同一平面内）．

(1)、求仰角 $α$ 的正弦值；

(2)、求 $B$ ， $C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m$ ）．（ $s i n 63 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63 ° \approx 1.96$ ， $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.51$ ）

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23. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．甲车出发40min后乙车出发，乙车匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果乙车与甲车同时到达B地，甲、乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、图中a=；

(2)、①A、B两地的距离为km；甲车行驶全程所用的时间为h；甲的速度是km/h；点C的坐标为；
②直接写出线段CF对应的函数表达式；
③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有km．

(3)、乙车出发小时在途中追上甲车；

(4)、乙出发小时，甲乙两车相距50km．

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24. 将一个矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点 $A (5 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ ，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合）．

(1)、如图①，当 $∠ C O P = 60 °$ 时，求点P的坐标；

(2)、沿OP折叠该纸片，点C的对应点为 $C^{'}$ ，设 $C P = t$ ．
①图②，若点 $C^{'}$ 在第四象限， $P C^{^{'}}$ 与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围；
②折叠后重叠部分的面积为S，当 $\frac{3}{4} \leq S \leq \frac{13}{6}$ 时，直接写出t的取值范围．

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25. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c为常数， $b < 0$ ）与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ ， B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C．

(1)、当 $b = - 2$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、点P是射线OC上的一个动点
①点 $D (- b ， y_{0})$ 是抛物线上的点，当 $O P = 3$ ， $A D = A P$ 时，求b的值：
②若点P在线段OC上，当b的值为-4时，求 $C P + 2 A P$ 的最小值．

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