山西省晋中市平遥县2022年一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2的倒数是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2.
如图所示几何体的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. “致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列设计图案中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损头每年高达680000000元，这个数据用科学记数法表示是（）

A、 $6.8 \times 1 0^{9}$ B、 $6.8 \times 1 0^{8}$ C、 $6.8 \times 1 0^{7}$ D、 $68 \times 1 0^{7}$

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5. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A、1.70，1.65 B、1.70，1.70 C、1.65，1.65 D、3，4

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6. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 $∠ 1 = 28 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数为（）

A、62° B、56° C、28° D、72°

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7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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8. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）

A、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→正方形→菱形→矩形 D、平行四边形→菱形→正方形→矩形

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9. 在解这一问题“若代数式 $y^{2} + 3 y + 7$ 的值是8，则代数式 $2 y^{2} + 6 - 9$ 的值为多少？”的时候，我们可以算出 $y^{2} + 3 y = 1$ ，然后再将 $2 y^{2} + 6 y - 9$ 变形为 $2 (y^{2} + 3 y) - 9$ ，然后将“ $y^{2} + 3 y = 1$ ”代入即可求出 $2 y^{2} + 6 y - 9$ 的值为-7，这个解题过程体现的数学思想是（）

A、数形结合思想 B、整体思想 C、转化思想 D、分类讨论思想

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10. 如图，在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上有一动点 $A$ ，连接 $A O$ 并延长交图象的另一支于点 $B$ ，在第二象限内有一点 $C$ ，满足 $A C = B C$ ，当点 $A$ 运动时，点 $C$ 始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动，若 $t a n ∠ C A B = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-12 B、-6 C、-18 D、-24

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二、填空题

11. 分解因式： $2 m^{2} - 2$ = ．

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12. 如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为．

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13. 工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线的依据是．（选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“HL”、“ASA”）

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14. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A = 3$ ， $∠ C = 45 °$ ，则图中阴影部分的面积是.（结果保留 $π$ ）

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15. 如图，在菱形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ，点E，F分别在边AB，BC上， $A E = B F = 2$ ， $△ D E F$ 的周长为 $3 \sqrt{6}$ ，则菱形边长为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + t a n 60 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{12}$

(2)、解方程： $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$

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17. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE//DF，EC=BD，∠A=∠F．求证：AE=FB．

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18. 受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm．当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，观看比较适宜，试求此时点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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19. 为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
组别
分数
人数
A组
$75 < x \leq 80$
4
B组
$80 < x \leq 85$
C组
$85 < x \leq 90$
10
D组
$90 < x \leq 95$
E组
$95 < x \leq 100$
14
合计

(1)、本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度；

(2)、该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

(3)、若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E₁ ， E₂ ， E₃ ， E₄ ，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 的概率．

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20. 已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E.

(1)、求证：DE为⊙O的切线；

(2)、若DE=2，tanC= $\frac{1}{2}$ ，求⊙O的直径.

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21. 请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 $△ A B C$ 内任取一点 $O$ ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则 $\frac{B D}{D C} \times \frac{C E}{E A} \times \frac{A F}{B F} = 1$ ．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：

(1)、如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；

(2)、若 $△ A B C$ 为等边三角形（图3）， $A B = 12$ ， $A E = 4$ ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 $△ B O F$ 的面积．

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22. 综合与实践
问题情境：在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．

(1)、操作发现：如图①，当 $A C = B C$ 时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
① $∠ C B E$ 的度数为 ▲ ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；

(2)、探究证明：如图2，当 $B C = 2 A C$ 时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若 $A C = 2$ ，在点D的运动过程中，当 $△ C B E$ 的形状为等腰三角形时，直接写出此时 $△ C B E$ 的面积．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点B， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线DC交于一点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P为y轴上一点，探究 $E P + P B$ 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

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组别	分数	人数
A组	$75 < x \leq 80$	4
B组	$80 < x \leq 85$
C组	$85 < x \leq 90$	10
D组	$90 < x \leq 95$
E组	$95 < x \leq 100$	14
合计

成绩（m）	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	1	2	4	3	3	2