山东省青岛市高新区2022年九年级一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{3}$ 的绝对值是（）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、-3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图长方体的展开图，不可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）.

A、 B、 C、 D、

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4. 在显微镜下，一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.000000083m这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $0.83 \times 1 0^{- 7} m$ B、 $8.3 \times 1 0^{- 7} m$ C、 $8.3 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $83 \times 1 0^{- 9} m$

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5. 某校篮球队12名队员的年龄情况如下：

年龄（岁）

14

15

16

17

18

人数

2

4

3

2

1

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A、16，15 B、15，15.5 C、15，16.5 D、15，15

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6. 如图， $△ A B O$ 的顶点坐标 $A (3 ， 5)$ 、 $B (5 ， 3)$ 、 $O (0 ， 0)$ ，若 $△ A B O$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转90°，再向右平移2个单位，得到，则点 $A$ 的对应点的坐标是（）.

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- 5 ， 3)$ C、 $(3 ， 5)$ D、 $(1 ， 5)$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ ， $A C = 5 c m$ ，以点 $C$ 为圆心，以2cm的长为半径作圆，则 $⊙ C$ 与 $A B$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、相切或相交

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8. 已知，一次函数

y_{1} = k x + m (k \neq 0)

与二次函数

y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的部分自变量与对应的函数值如表：

$x$	…	$- \frac{1}{2}$	0	2	3	4	…
$y_{1}$	…	$\frac{1}{2}$	1	3	4	5	…
$y_{2}$	…	$\frac{1}{2}$	-2	-2	4	14	…

当 $y_{1} > y_{2}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、

x > - \frac{1}{2}

或

x > 3

B、

x < - \frac{1}{2}

或

x > 3

C、

\frac{1}{2} < x < 3

D、

- \frac{1}{2} < x < 3

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二、填空题

9. 计算： $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{20}}{\sqrt{80}} =$ .

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10. 在一个不透明的口袋中装有10个白球和 $m$ 个红球，它们除颜色外完全相同.若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则 $m$ 的值为.

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11. 如图，A、B、C、D是半径为4cm的 $⊙ O$ 上的四点，AC是直径， $∠ D = 45 °$ ，则 $A B =$ cm.

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12. 某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元?若设签字笔 $x$ 元/支，笔袋 $y$ 元/个，则根据题意可列方程组为.

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C = 12$ ， $s i n ∠ A C B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P$ 是线段 $A C$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $A B$ 上的动点，则 $C Q + P Q$ 的最小值是.

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14. 如图， $O A = 6 c m$ ， $O D = A D = 7 c m$ ， P是OA上一动点（点P不与O、A重合），过点P做 $P B ∥ A D$ ， $P C ∥ O D$ ，交OD于点B，交AD于点C，M是OP中点，N是PA中点连接BM、CN，下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）
① $△ O B P$ 是等腰三角形② $C N ⊥ P A$ ③四边形 $B P C D$ 是平行四边形，周长是14cm④动点 $P$ 无论移动到OA上哪一点（P不与O、A重合）， $B M + C N$ 的值为固定值是 $2 \sqrt{10} c m$ .

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三、解答题

15. 已知：线段 $a$ ，直线 $l$ 及外一点A.
求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线 $l$ 两侧，对角线BD在直线 $l$ 上，且 $B D = a$ .

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16. 计算

(1)、化简： $\frac{x - 3}{x^{2} - 6 x + 9} + \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} \div x$

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 9 < 9 - 3 x \\ 4 x + 2 > \frac{3 + x}{4} \end{array}$ ，并写出它的整数解．

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17. 2022年冬奥运会、冬残奥会不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜爱在一次活动中，奖品为一个“冰墩墩”的玩偶，小颖和小亮都想获得该奖品，组织者想到北京冬奥会2月4日开始，2月20日结束，冬残奥会3月4日开始，3月13日结束.组织者设计了一个游戏：准备A、B两组除正面数字不同其余都相同的纸牌，每组三张，A组牌正面数字分别是2，4，20．B组牌正面数字分别是3，4，13。将纸牌背面朝上，充分洗匀后，小颖从A组纸牌中摸出一张，小亮从B组纸牌中摸出一张，称为一次游戏.当摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9，则小颖胜，否则小亮胜，获胜者即可获得“冰墩墩”的玩偶．

(1)、请你用列表法或画树状图求出小颖胜的概率

(2)、这个游戏公平吗?请说明理由.

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18. 某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A．篮球社团，B．书香社团，C．舞蹈社团，D．编程社团，E．合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描述数据；
选择各兴趣社团的人数统计表：
兴趣社团
人数
A．篮球社团
10
B．书香社团
8
C．舞蹈社团
a
D．编程社团
4
E．合唱社团
6
选择各兴趣社团的人数统计图：
根据以上信息：

(1)、请补全统计表和统计图 $a =$ ， $B =$ °．

(2)、扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是°；

(3)、根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？

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19. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值： $s i n 73 ° \approx \frac{19}{20}$ ， $c o s 73 ° \approx \frac{29}{100}$ ， $t a n 73 ° \approx \frac{10}{3}$ ， $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．）

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20. 2022年疫情期问，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．

(1)、求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？

(2)、由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？

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21. 已知：如图 $△ A B C$ 中，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，E为AB中点，过点A作 $A F ∥ B D$ ，交DE延长线于点F.

(1)、求证： $A F = B D$

(2)、当 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.

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22. 2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.

(1)、求日销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）的函数关系式；

(2)、求该批玩具的日销售利润 $W$ （元）与销售单价 $x$ （元）的函数关系式；

(3)、当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元?

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23. 【问题提出】计算 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}$ （其中 $n$ 是正整数）
【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中，
第1行圆圈中的数为1，即 $1^{2}$ ；
第2行两个圆圈中数的和为2+2=2×2，
即 $2^{2}$ ；
第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=3×3
即 $3^{3}$ ；
……；
第 $n$ 行 $n$ 个圆圈中数的和为 $\overset{}{\overset{︷}{n + n + \cdot \cdot \cdot + n}}$ ，即 $n^{2}$ .所有圆圈中数的和为 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2}$ .
要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：
探究一：计算 $1^{2} + 2^{2}$ .
将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）.则图2中所有数字之和为 $\frac{1}{3} \times 5 \times (1 + 2)$ ，所以得到等式 $1^{2} + 2^{2} = \frac{1}{3} \times 5 \times (1 + 2)$ .

(1)、探究二：计算 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2}$
仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是（如图9），而图9共有个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为.那么图6中所有数字之和为，所以得到等式 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} =$ .（仿照上述方法，写出探究得出的式子）.

(2)、探究三：计算 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{5} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 1 0^{2} =$ .（仿照上述方法，直接写出结果）.

(3)、【问题解决】 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} =$ .（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含 $n$ 的代数式表示）

(4)、【拓广应用】
计算： $2 6^{2} + 2 7^{2} + 2 8^{2} + \cdot \cdot \cdot + 5 0^{2} =$ .（直接写出结果）

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24. 已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， $A C = 6 c m$ ， $B D = 8 c m$ .延长BC至点E，使 $C E = B C$ ，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为 $1 c m / s$ ，过点F作 $F G ⊥ E D$ 垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为 $1 c m / s$ ，过点H作 $H P ∥ A B$ ，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为 $t (0 < t \leq 3)$ ，解答下列问题：

(1)、求证： $∠ B D E = 90 °$ ；

(2)、是否存在某一时刻 $t$ ，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由.

(3)、设六边形PCGFDH的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(4)、连接HG，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $H G ∥ A C$ ?若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由.

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兴趣社团	人数
A．篮球社团	10
B．书香社团	8
C．舞蹈社团	a
D．编程社团	4
E．合唱社团	6

年龄（岁）	14	15	16	17	18
人数	2	4	3	2	1