北京市朝阳区2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、三棱柱 B、长方体 C、圆锥 D、圆柱

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2. 2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就.2021年国内生产总值达114万亿元，增长 $8.1 %$ ．将1140000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.114 \times 1 0^{7}$ B、 $1.14 \times 1 0^{5}$ C、 $1.14 \times 1 0^{6}$ D、 $11.4 \times 1 0^{4}$

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3. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $| a | > | b |$

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4. 将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $100 °$ B、 $105 °$ C、 $115 °$ D、 $120 °$

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5. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 下图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为 ${\bar{x}}_{同} ， {\bar{x}}_{环}$ ，方差分别为 $s_{同}^{2} ， s_{环}^{2}$ ，则（）

A、 ${\bar{x}}_{同} > {\bar{x}}_{环} ， s_{同}^{2} > s_{环}^{2}$ B、 ${\bar{x}}_{同} > {\bar{x}}_{环} ， s_{同}^{2} < s_{环}^{2}$ C、 ${\bar{x}}_{同} < {\bar{x}}_{环} ， s_{同}^{2} > s_{环}^{2}$ D、 ${\bar{x}}_{同} < {\bar{x}}_{环} ， s_{同}^{2} < s_{环}^{2}$

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8. 点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，下列推断正确的是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} = 0$ D、存在 $x_{1} = x_{2}$ ，使得 $y_{1} \neq y_{2}$

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二、填空题

9. 若代数式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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10. 分解因式 $2 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2} =$ ．

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11. 写出一个比4大且比5小的无理数．

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12. 如图， $A C ， B C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，若 $∠ C = 60 °$ ，则 $∠ P =$ $°$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $A C$ 上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明 $△ A B C$ 和 $△ B D C$ 相似，这个条件可以是（写出一个即可）．

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14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案，这些只有中国结图案的“小雪花”共有个．

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15. 若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + a^{2} x - a = 0$ 有一个根是 $x = 1$ ，则 $a =$ ．

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16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：

演员1
演员2
演员3
演员4
演员5
演员6
演员7
演员8
节目A
√
√
√
√
√
节目B
√
√
√
节目C
√
√
√
节目D
√
√
节目E
√
√
节目F
√
√
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．

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三、解答题

17. 计算： $2 c o s 30 ° + | - \sqrt{3} | - (π - \sqrt{3})^{0} - \sqrt{12}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \geq 4 \\ x - 1 < \frac{1 + 2 x}{3} \end{array}$

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19. 已知 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，求代数式 $(2 x + 3) (2 x - 3) - x (x - 3)$ 的值．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - a x + a - 1 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

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21. 中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．
由记载可得作法如下：
①作 $⊙ M$ ，在 $⊙ M$ 上取一点N，以点N为圆心， $M N$ 为半径作 $⊙ N$ ，两圆相交于A，B两点，连接 $A B$ ；
②以点B为圆心， $A B$ 为半径作 $⊙ B$ ，与 $⊙ M$ 相交于点C，与 $⊙ N$ 相交于点D；
③连接 $A C$ ， $A D$ ， $B C$ ， $B D$ ．
$△ A B C$ ， $△ A B D$ 都是圆内接正三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明，
证明：连接 $A M$ ， $A N$ ， $M N$ ， $B M$ ．
∵ $M A = M N = N A$ ，
∴ $△ A M N$ 为① ．
∴ $∠ A M N = 60 °$ ．
同理可得， $∠ B M N = 60 °$ ．
∴ $∠ A M B = 120 °$ ．
∴ $∠ A C B = 60 °$ （② ）（填推理的依据）．
∵ $B A = B C$ ，
∴ $△ A B C$ 是等边三角形．
同理可得， $△ A B D$ 是等边三角形．

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A E / / B D$ ， $B E / / A C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E B O$ 是菱形；

(2)、若 $A B = O B = 2$ ，求四边形 $A E B O$ 的面积．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $c o s ∠ C A D = \frac{4}{5}$ ， $A B = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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24. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.50
1.00
1.5
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
请解决以下问题：

(1)、在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)、结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；

(3)、求h关于d的函数表达式；

(4)、公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．

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25. 某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）；
b．甲校区成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：

平均数
中位数
甲校区
79.5
m
乙校区
77
81.5
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、写出表中m的值；

(2)、两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；

(3)、估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为（直接写出结果）．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(- 2 ， 0) ， (- 1 ， y_{1}) ， (1 ， y_{2}) ， (2 ， y_{3})$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上．

(1)、若 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $y_{3}$ 的值；

(2)、若 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ ，求 $y_{3}$ 值的取值范围．

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27. 在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，且 $∠ B A D \neq 90 °$ ，将线段 $A B$ 沿 $A D$ 所在直线翻折，得到线段 $A B^{'}$ ，作 $C E ∥ A B$ 交直线 $A B^{'}$ 于点E．

(1)、如图，若 $A B > A C$ ，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 $A B ， A E ， C E$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、若 $A B < A C$ ，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段 $A B ， A E ， C E$ 之间新的数量关系（不需证明）．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l ： y \equiv k x + b$ ，给出如下定义：若直线 $l$ 与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线 $l$ 关于该圆的“圆截距”．

(1)、如图1， $⊙ O$ 的半径为1，当 $k = 1 ， b = 1$ 时，直接写出直线 $l$ 关于 $⊙ O$ 的“圆截距”；

(2)、点M的坐标为 $(1 ， 0)$ ，
①如图2，若 $⊙ M$ 的半径为1，当 $b = 1$ 时，直线 $l$ 关于 $⊙ M$ 的“圆截距”小于 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$ ，求k的取值范围；
②如图3，若 $⊙ M$ 的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线 $l$ 关于 $⊙ M$ 的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．

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	演员1	演员2	演员3	演员4	演员5	演员6	演员7	演员8
节目A	√		√		√	√		√
节目B	√		√	√
节目C				√		√		√
节目D		√			√
节目E		√					√
节目F					√		√

d（米）	0.50	1.00	1.5	2.00	2.50	3.00
h（米）	3.75	4.00	3.75	3.00	1.75	0

	平均数	中位数
甲校区	79.5	m
乙校区	77	81.5