北京市通州区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-05-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知a＜b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A、a＋5＞b＋5 B、－2a＜－2b C、 $\frac{3}{2}$ a＞ $\frac{3}{2}$ b D、7a－7b＜0

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2. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以40岁为例计算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（）

A、108≤p≤144 B、108＜p＜144 C、108≤p≤190 D、108＜p＜190

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3. 下列运算正确的是（　　）

A、a²+a³＝a⁵ B、（ab²）³＝ab⁶ C、（﹣a²）³＝a⁶ D、a²•a³＝a⁵

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4. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程ax+y＝1的一个解，那么a的值为（）

A、3 B、1 C、﹣1 D、﹣3

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5. 如果不等式组 ${\begin{array}{l} x < 3 \\ x > m \end{array}$ 无解，那么 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 3$ B、 $m < 3$ C、 $m \leq 3$ D、 $m \geq 3$

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6. 对于二元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x - 5 y = 1 ① \\ x - y = 6 ② \end{cases}$ ，我们把x，y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵： $[\begin{array}{l} 2 5 1 \\ 1 - 1 6 \end{array}]$ ，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将②×5，则得到矩阵 $[\begin{array}{l} 2 5 1 \\ 5 - 5 30 \end{array}]$ ，用加减消元法可以消去y，如解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 y = 1 \\ 2 x - 3 y = 2 \end{array}$ 时，我们用加减消元法消去x，得到的矩阵应是（）

A、 $[\begin{array}{l} 3 - 4 1 \\ 2 - 3 2 \end{array}]$ B、 $[\begin{array}{l} 9 - 12 3 \\ 8 - 12 8 \end{array}]$ C、 $[\begin{array}{l} 6 - 8 2 \\ 6 - 9 6 \end{array}]$ D、 $[\begin{array}{l} 1 - 1 1 \\ 2 - 3 2 \end{array}]$

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7. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（）

A、 $a (a + 4) = a^{2} + 4 a$ B、 $(a + 4) (a - 4) = a^{2} - 16$ C、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ D、 $(a + 2)^{2} = a^{2} + 4 a + 4$

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8. 如果x是一个有理数，我们定义{x}表示不小于x的最小整数．如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{﹣6}＝﹣6．若m满足{2m+8}＝6，则m的取值范围是（）

A、m≤﹣1 B、﹣ $\frac{3}{2}$ ＜m≤﹣1 C、m≥﹣4 D、﹣4≤m＜﹣ $\frac{7}{2}$

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二、填空题

9. 关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式组的解集是．

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10. 已知2x+5y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝．

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11. 二元一次方程2x＋y＝5的正整数解为．

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12. 已知a^m＝4，aⁿ＝8，求a^m+n的值．

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13. 已知x+y＝3，xy＝2，则x²+y²＝．

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14. 若（x+2）（x﹣n）＝x²+mx+6，则m＝， n＝．

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15. 多项式4x³+M+1是完全平方式，请你写出一个满足条件的单项式M：．

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16. 已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝．
a，b的运算
a+b
a﹣b
$(a + 2 b)^{3}$
运算的结果
0
4
m

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17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．

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18. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 2 a \\ x + 2 y = 3 - a \end{array}$ ，其中 $- 3 \leq a \leq 1$ ，给出下列结论：
①当 $a = - 1$ 时，x，y的值互为相反数；
② ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ 是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式 $x + y = 2$ ；
④若 $x \leq - 1$ ，则 $3 \leq y \leq 4$ ．
其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

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三、解答题

19. 计算：x²•x⁴+（x²）³﹣（﹣3x³）²

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20. 解不等式：5x﹣1＜2（x+4），并把它的解集在数轴上表示出来．

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21. 解不等式组： ${\begin{matrix} 4 (x + 1) \leq 7 x + 10 \\ x - 5 < \frac{x - 8}{3} \end{matrix}$ ，并写出它的所有非负整数解．

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22. 解方程组： ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ．

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23. 已知2x²﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）²+（x﹣3）（x+3）的值．

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24. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 6 \\ 3 x - 2 y = k \end{array}$ 的解满足x﹣y＝2，求k的值．

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25. 在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．

(1)、计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣5+y）；

(2)、若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x²+6，求出整式“▲”；

(3)、若（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，请直接写出一组满足条件的“■”及“▲”．

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26. 列方程组或不等式解决问题：2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．

(1)、求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；

(2)、学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？

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27. 用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：

(1)、比较a²+b²与2ab的大小：
①当a＝3，b＝3时，a²+b² 2ab；

②当a＝2，b＝ $\frac{1}{2}$ 时，a²+b² 2ab；

③当a＝﹣2，b＝3时，a²+b² 2ab．

(2)、通过上面的填空，猜想a²+b²与2ab的大小关系，并证明你的猜想；

(3)、如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S₁ ， S₂ ，若三角形BCG的面积为1，求S₁+S₂的最小值．

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28. 对于任意两个有理数m、n，可以写成有序数对（m，n）的形式．
定义如下：数对（m，n）的关联数对记为（m，n′），n′＝ ${\begin{array}{l} n (m \geq 1) \\ - n (m < 1) \end{array}$
例如：（1，4）的关联数对是（1，4），（﹣1，4）的关联数对是（﹣1，﹣4）．

(1)、（﹣3，﹣1）的关联数对是；

(2)、若数对（x，y）中的x，y值是二元一次方程x﹣y＝﹣2的一个解，其中﹣4≤x≤3．求其关联数对（x，y′）中y′的取值范围；

(3)、若数对（x，y）中的x，y值是二元一次方程x+y＝4的一个解，其中﹣1≤x≤a，a＞﹣1．当其关联数对y′的取值范围是﹣5≤y′≤3时，请直接写出a的取值范围．

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a，b的运算	a+b	a﹣b	$(a + 2 b)^{3}$
运算的结果	0	4	m