2022年甘肃省兰州市中考数学模拟试卷四（5月份）

试卷更新日期：2022-05-10 类型：中考模拟

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 科学防疫从勤洗手开始，一双没洗干净的手上带有各种细菌病毒大约850000000个，这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $0.85 \times 1 0^{9}$ B、 $8.5 \times 1 0^{7}$ C、 $8.5 \times 1 0^{8}$ D、 $85 \times 1 0^{7}$

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2. 若 $a / / b$ ，则下列图中能直接利用“两直线平行，内错角相等”判定 $∠ 1 = ∠ 2$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若(ax-b)(3x+4)=bx²+cx+72，则a+b+c的值为（）

A、-6 B、6 C、18 D、36

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4. 下列计算错误的是（）

A、（－5）＋5＝0 B、 $(- \frac{1}{6})$ ×|（－2）³|＝－ $\frac{4}{3}$ C、（－1）³＋（－1）²＝0 D、4÷2× $\frac{1}{2}$ ÷2＝2

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5. 中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约 $700 k m$ ，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用 $3.6 h$ ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为 $x k m / h$ ，则下面所列方程中正确的是（）

A、 $\frac{700}{x} - \frac{700}{2.8 x} = 3.6$ B、 $\frac{700}{2.8 x} - \frac{700}{x} = 3.6$ C、 $\frac{700 \times 2.8}{x} - \frac{700}{x} = 3.6$ D、 $\frac{700}{2.8 x} = 3.6 - \frac{700}{x}$

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6. 为了让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m² ，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量y（m³）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图像如图所示，下列说法不正确的是（）

A、注水2小时，游泳池的蓄水量为380m³ B、该游泳池内开始注水时已经蓄水100m³ C、注水2小时，还需注水100m³ ，可将游泳池注满 D、每小时可注水190m³

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7. 定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）

A、当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{8}{3}$ ） B、当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\frac{3}{2}$ C、当m≠0时，函数图象经过同一个点 D、当m<0时，函数在x> $\frac{1}{4}$ 时，y随x的增大而减小

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点 $E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ， $D E$ .过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $E D$ 于点 $P$ .若 $A E = A P = 1$ ， $P B = \sqrt{5}$ .下列结论：

① $△ A P D ≌ △ A E B$ ；②点 $B$ 到直线 $A E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ；③ $E B ⊥ E D$ ；④ $S_{△ A P D} + S_{△ A P B} = 1 + \sqrt{6}$ ；⑤ $S_{正方形 A B C D} = 4 + \sqrt{6}$ .其中正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③⑤ D、②③⑤

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9. ……依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $△ A B C$ 和 $△ P Q R$ 都是等边三角形，且 $A D = B E = C F = \frac{1}{4} A B$ ，当 $∠ A F R = ∠ B D P = ∠ C E Q = 30 °$ 时， $△ P Q R$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$

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二、填空题（每题2分，共16分）

11. 小明推铅球，铅球行进高度 $y$ $(m)$ 与水平距离 $x$ $(m)$ 之间的关系为 $y = - \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 3$ ，则小明推球的成绩是m.

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12. 平面直角坐标系中点P的坐标为（3，-1），则点P关于x轴的对称点的坐标是.

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13. 如图，在坐标系中，以坐标原点 O， A （－8，0）， B （0，6）为顶点的Rt△AOB ，其两个锐角对应的外角平分线相交于点M，且点M恰好在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为.

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14. 已知：如图，线段 $A B = 24 c m$ ， $O A = O P = 2 c m$ ， $∠ P O Q = 60 °$ ，现点 $P$ 绕着点 $O$ 以 $30 ° / s$ 的速度逆时针旋转一周后停止，同时点 $Q$ 沿直线 $B A$ 自点 $B$ 向点 $A$ 运动，若点 $P$ ， $Q$ 两点能相遇，则点 $Q$ 运动的速度为 $c m / s$ .

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15. 运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩.这实质上是数学知识在生活中的应用.

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16. 若 $a = \sqrt{1003} + \sqrt{997}$ ， $b = \sqrt{1001} + \sqrt{999}$ ， $c = 2 \sqrt{1001}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系用“＜”号排列为．

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17. 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如2³＝3+5，3³＝7+9+11，4³＝13+15+17+19，…，若m³“分裂”后，其中有一个奇数是347，则m的值是．

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18. 已知点 $M$ 为双曲线 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上的一点，过点 $M$ 作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，分别交直线 $y = - x + m (m > 0)$ 于点 $D$ 、 $C$ 两点（点 $D$ 在点 $M$ 下方.若直线 $y = - x + m (m > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，则 $A D \cdot B C$ 的值为.

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三、解答题（共9题，共74分）

19. 计算： ${(\sqrt{3})}^{2} + 2 c o s 30 ° - {(2 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 3 |$ ．

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20. 先化简，再求值： $a (a - 2 b) + {(a + b)}^{2}$ ，其中 $a = - 3$ ， $b = 5$

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21. 请尺规作图完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

(1)、如图 1，E在矩形纸片ABCD的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，画出折痕MN（点M，N分别在边AD，BC上）；

(2)、如图 2，点 A、B、C 均在⊙O 上，且∠BAC=120°，在优弧 BC上画 M、N 两点，使∠MAN=60°.

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22. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且 $\overset{⌢}{C D}$ ＝ $\overset{⌢}{B D}$
求证：AC∥OD

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23. 如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF ，点F在CD上，联结AF、BD ， BD与FG交于点M ，点N是边AC上的一点，联结EN交AF 与点H ．

(1)、求证：AF=BD；

(2)、如果 $\frac{A N}{A C} = \frac{G M}{G F}$ ，求证： $A F ⊥ E N$ ．

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24. 新冠肺炎疫情期间，我市防控指挥部想了解自8月1日至8月底各学校教职工介入志愿服务的情况，在全市各学校中随机调查了部分介入志愿者服务的教职工，对他们的志愿服务时间（小时）进行统计，A：0＜x≤30；B：30＜x≤60；C：60＜x≤90；D：90＜x≤120；整理并绘制成两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)、这次被抽取的教职工共有人，扇形统计图中，“D：90＜x≤120”所占圆心角的度数是 °；

(2)、请你将条形统计图补充完整，并在图上标明相应的数据；

(3)、若该市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

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25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点，点A在点B的左侧，若抛物线的对称轴为x=1，点A的坐标为（−1，0）．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（−3，12），过点B、 D的直线与抛物线的对称轴交于点E．问：是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、 F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若在BD上存在一点P，使得直线AP将四边形ACBD分成了面积相等的两部分，请你求出此时点P的坐标．

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26. 在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长.”

(1)、请你也独立完成这道题；

(2)、待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明.

(3)、如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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27. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：

(1)、如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；

(2)、如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；

(3)、如图3，若二次函数y＝﹣x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．

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