浙江省金华十校2022届高三下学期4月模拟数学试题

试卷更新日期：2022-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x < a} ， B = {x ∣ 0 < x \leq 1}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a \leq 1$ B、 $a > 0$ C、 $a \leq 0$ D、 $a \leq 0$ 或 $a \geq 1$

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2. 已知复数 $z = (2 + i) (1 + a i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ，下列选项中正确的是（）

A、若 $z$ 是纯虚数，则这个纯虚数为 $- 5 i$ B、若 $z$ 为实数，则 $a = 2$ C、若 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限，则 $\frac{1}{2} < a < 2$ D、当 $a = 2$ 时， $| z | = 5$

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3. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是（）

A、 $\frac{5}{31}$ B、1 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{80}{31}$

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4. 直线 $a ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $b //$ 平面 $β$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含有常数项，则 $n$ 可以取（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} （ x + 1 ）^{2} - y^{2} \leq 0 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，若 $a x + y$ 中有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq a \leq 1$ B、 $0 \leq a \leq 1$ C、 $a \leq - 1$ D、 $a \geq 1$

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7. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = sin x ， t (x) = \cos x$ ，则图象为下图的函数可能是（）

A、 $y = \frac{| f （ x ） |}{2 + g （ x ）}$ B、 $y = \frac{t (x)}{2 + f (x)}$ C、 $y = \frac{f (x)}{2 + g (x)}$ D、 $y = \frac{f (x)}{2 + | g (x) |}$

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8. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = A B = \sqrt{2} ， P C = a ， A C = b ， B C = c$ ，若三角形 $P A C$ 和 $P B C$ 都是等腰直角三角形，则 $a ， b ， c$ 可能的不同取值有（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、至少4种

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9. 设 $f （ x ） = x (x^{5} - 1) ， g （ x ） = x^{3} - x^{2} - 1$ ，则有（）

A、存在 $x_{0} \in R ， f (x_{0}) < g (x_{0})$ 成立 B、任意 $x \in R ， f （ x ） > g （ x ）$ 恒成立 C、任意 $x \in R ， f （ x ） \leq g （ x ）$ 恒成立 D、存在 $x_{0} \in R ， f (x_{0}) = g (x_{0}) + \frac{1}{2}$ 成立

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10. 已知数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}} 、 {c_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1 ， c_{n} = a_{n + 1} - a_{n} ， c_{n + 2} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \cdot c_{n} (n \in N^{*}) ， S_{n} = \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} （ n \geq 2 ）， T_{n} = \frac{1}{a_{3} - 3} + \frac{1}{a_{4} - 4} + \dots + \frac{1}{a_{n} - n} （ n \geq 3 ）$ ，则下列有可能成立的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{2022}^{2} > b_{2022}$ B、若 ${c_{n}}$ 为递增的等差数列，则 $S_{2022} < T_{2022}$ C、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{2022}^{2} < b_{2022}$ D、若 ${c_{n}}$ 为递增的等差数列，则 $S_{2022} > T_{2022}$

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二、填空空题

11. 直线 $l_{1} ： x + 3 y - a = 0$ 的斜率为，直线 $l_{2} ： a x + 2 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a =$ .

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12. 香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示.则图2中两线段 $A D$ 与 $B C$ ，在图1的六面体中实际所成的角为，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成（如图3所示），则这个菱形的面积为.

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13. 口袋中有4个黑球、3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记 $0$ 分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用 $ξ$ 表示得分数，则 $P (ξ = 2) =$ ， $E (ξ) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) ＝ 1 + 2 sin ω x (ω > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 上为增函数，则 $ω$ 的取值范围为.

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15. 2022年北京冬奥会大约招募了2.7万名志愿者.5名金华籍志愿者被安排在运动场馆，每名志愿者只能去一个场馆，若可供安排的5个场馆中至少有3个要安排他们，则不同的安排种数有.

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16. 过双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ ，在第一象限交双曲线的渐近线于点 $P$ ，与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $Q$ .若 $| P Q | = 2 | F_{1} Q |$ ，则离心率 $e$ 的值为.

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17. 已知向量 $\vec{m}$ ，若对于满足 $| \vec{m} + \vec{a} | = 7 \vec{m} \cdot \vec{a}$ 的任意向量 $\vec{a}$ ，都存在 $λ \in R$ ，使得 $| λ \vec{m} + \vec{a} | \leq | \vec{m} |$ 恒成立，则向量 $\vec{m}$ 的模 $| \vec{m} |$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f （ x ） = 2 cos (x + \frac{π}{3}) cos x$ .

(1)、求函数 $f （ x ）$ 的周期及对称轴：

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边.若 $f (B - \frac{π}{6}) = 0 ， a = 4 ， b = \frac{7}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点， $A B = \sqrt{3} P A$ ， $P A = 2 A D$ ， $∠ B A D = 150^{\circ}$ ， $∠ P A D = 60^{\circ}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 单调递增且 $a_{1} > 2$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n + 1}^{2}}{b_{n}} = b_{n + 2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = b_{3}$ ， $b_{2} + 3 = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} b_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < \frac{4}{15}$ .

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F ， A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过 $A$ 作直线 $x = - 1$ 的垂线，垂足为 $H ， B$ 为 $x$ 轴上点. $A F = F B$ 且四边形AHFB为平行四边形.直线 $A F ， A B$ 与抛物线 $C$ 的另一个交点分别为 $D ， E .$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求三角形 $A D E$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = \frac{m}{2} x^{2} + (1 - m) x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、（i）若函数 $f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为递减函数，求 $m$ 的值；
（ii）在（i）成立的条件下，若 $x_{1} + x_{2} > 2 (x_{1} \neq x_{2})$ 且 $2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) = 2 g (x_{1}) + 2 g (x_{2}) + t (t \in Z)$ ，求 $t$ 的最大值.

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