浙江省台州市2022届高三下学期数学4月教学质量评估试卷

试卷更新日期：2022-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 3} ， B = {x ∣ - 3 \leq x \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 3]$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 1]$

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2. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + i (i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 2 y + 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + a y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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4. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \leq 3 ， \\ y \geq 2 x ， \end{array}$ 则 $z = y - 3 x$ 的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 已知双曲线 $C$ 的渐近线为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{7}{6}$

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7. 已知 $△ A B C$ 的三个内角为 $A ， B ， C$ ，则“ $s i n 4 A = s i n 4 B$ ”是“ $A = B$ 或 $C = \frac{3 π}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则其解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x - \frac{4}{3}}{(e^{x} - 1) (x - 1)}$ B、 $f (x) = \frac{x - \frac{4}{3}}{e^{x} (x - 1)}$ C、 $f (x) = \frac{x}{(e^{x} - 1) (x - 1)}$ D、 $f (x) = \frac{x - \frac{4}{3}}{x (x - 1)}$

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9. 已知 $n \in N^{*} ， f (x) = \frac{1}{s i n^{n} x} + \frac{1}{c o s^{2 n} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ .若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取到最小值，则下列恒成立的是（）

A、 $f (x) \geq f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ C、 $x_{0} < \frac{π}{4}$ D、 $x_{0} > \frac{π}{4}$

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10. 已知平面向量 ${\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2} ， {\vec{e}}_{3} ， | {\vec{e}}_{1} | = | {\vec{e}}_{2} | = | {\vec{e}}_{3} | = 1 ， ⟨ {\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2} ⟩ = 6 0^{°}$ .若对区间 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 内的三个任意的实数 $λ_{1} ， λ_{2} ， λ_{3}$ ，都有 $| λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2} + λ_{3} {\vec{e}}_{3} | ⩾ \frac{1}{2} | \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + {\vec{e}}_{3} |$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{3}$ 夹角的最大值的余弦值为（）

A、 $- \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{3 - \sqrt{5}}{6}$

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二、填空题

11. 离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
-1
0
1
$P$
$\frac{1}{4}$
$a$
$\frac{1}{2}$
则实数 $a =$ ； $E (ξ) =$ .

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12. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 3 ， B C = 4$ ，则 $c o s B =$ ； $s i n A =$ .

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13. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $2 a + b = 2$ ，则 $a b$ 的最大值为； $a^{2} + a b + a + b - \frac{2}{a b}$ 的最大值为.

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14. 设 ${(x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y})}^{10}$ 展开式中各项系数和为 $A ， x^{5} y$ 的系数为 $B$ ，则 $\sqrt{A} =$ ； $B =$ .

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15. 已知三个整数 $a ， b ， c$ ，且 $1 \leq a \leq b < c \leq 5$ .若以 $a ， b ， c$ 为三条边的长可以构成一个三角形，则这样的数组 $(a ， b ， c)$ 有组.

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 ${\frac{S_{n}}{n a_{n}}}$ 的最大项为.（用数字作答）

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17. 空间四面体 $A B C D$ 中， $∠ A C D = 6 0^{∘}$ ，二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $4 5^{∘}$ ，在平面 $A B C$ 内过点 $B$ 作 $A C$ 的垂线 $l$ ，则 $l$ 与平面 $B C D$ 所成的最大角的正弦值.

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{6}) (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f^{2} (x) + f^{2} (x + \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ，二面角 $S - A B - D$ 的平面角的大小为 $6 0^{∘}$ ， $△ S A B$ 和 $△ A B C$ 均为等边三角形， $E$ ， $F$ 分别为线段 $S D$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、设直线 $E F$ 与平面 $S A C$ 所成角为 $θ$ ，求 $s i n θ$ 的值.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且对任意的正整数 $n$ ，都有 $n a_{n + 1} + 2 (n + 1) a_{n} = 0$ .

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(3 n + 2) (- 2)^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且过 $F$ 的弦长的最小值为4.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、如图，经过点 $P$ 且不过原点的直线 $l$ 与抛物线 $Γ$ 相交于 $S ， T$ 两点，且直线 $F S ， F T$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ .问：是否存在定点 $P$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值？若存在，请求出点 $P$ 的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2} + x + 1 (a \in R)$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若函数 $g (x) = f^{'} (x) + l n x$ 有两个不同的零点 $x_{3} ， x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ，函数 $h (x) = f^{'} (x) + (2 - e) x$ 有两个不同的零点 $x_{5} ， x_{6} (x_{5} < x_{6})$ ，证明：
（i） $e x_{1} < x_{3}$ ；
（ii） $x_{4} - x_{3} > e (x_{6} - x_{5})$ .
（注： $e \approx 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）

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$ξ$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{4}$	$a$	$\frac{1}{2}$