浙江省嘉兴市2022届高三下学期数学4月教学测试试卷（二模）

试卷更新日期：2022-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} \leq 8}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 6}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 6]$ B、 $[- 1 ， 6]$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $(0 ， 6]$

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2. 已知 $z (1 - i) = 3 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 ， \\ 2 x + y \leq 4 ， \\ x - y \geq - 2 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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4. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b = 1$ ”是“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何正视图体的表面积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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6. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）（ $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{| x | - 2}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{| x | - 2}$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} - 2^{| x |}}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{2} - 2^{| x |}}$

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7. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列结论中正确的是（）

①若 $E$ 是直线 $A C$ 上的动点，则 $D_{1} E / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ②若 $E$ 是直线 $A C$ 上的动点，则三棱锥 $E - A_{1} B C_{1}$ 的体积为定值 $\frac{1}{6}$ ③平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的锐二面角的大小为 $\frac{π}{4}$ ④若 $F$ 是直线 $B D$ 上的动点，则 $D_{1} F ⊥ A C$

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

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8. 设a， $b \in R$ ，若 $x \geq 0$ 时，恒有 $2 x^{2} \leq x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + a x + b \leq x^{4} + 1$ ，则（）

A、 $| a | - | b | = 2$ B、 $a - b = 2$ C、 $| a | + | b | = 2$ D、 $a + b = 2$

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9. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点， $O$ 为坐标原点，其渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 在第二象限交于点P，若直线 $P F_{1}$ 交双曲线右支于点Q，且 $| P Q | > | Q F_{2} | + \frac{2}{5} | O F_{2} |$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 4 (\sqrt{a_{n - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}}}) (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和，则（）

A、 $\frac{7}{3} < S_{2022} < \frac{8}{3}$ B、 $2 < S_{2022} < \frac{7}{3}$ C、 $\frac{5}{3} < S_{2022} < 2$ D、 $1 < S_{2022} < \frac{5}{3}$

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二、填空题

11. 2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大同，天下一家”的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边长分别为a，b，c，d的双圆四边形，则其内切圆半径 $r = \frac{2 \sqrt{a b c d}}{a + b + c + d}$ ，外接圆半径 $R^{2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c)}{a b c d}$ .现有边长均为1的双圆四边形，则 $R - r =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c} (a < b)$ 的定义域为R，则 $\frac{b - a}{a + 2 b + 4 c}$ 的最大值是.

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13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ ，其中 $\vec{e}$ 为单位向量，若 $〈 \vec{a} ， \vec{e} 〉 = ⟨ \frac{\vec{b}}{4} - \vec{e} ， \frac{\vec{b}}{5} - \vec{e} ⟩ = \frac{π}{6}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + b ， - 1 \leq x < 0 ， \\ | x - 1 | ， 0 \leq x \leq 1 . \end{array}$ 若 $f (3) = f (- 3)$ ，则实数 $b =$ ， $f (\frac{b}{2}) =$ .

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15. 已知多项式 $(a + x)^{4} + (2 x - 1)^{5} = a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} (a \in R)$ ，则 $a =$ ， $a_{4} + a_{5} =$ .

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，点D在线段 $B C$ 上，且 $D C = 2 B D$ ， $A D = \sqrt{7}$ ，则 $s i n ∠ A D C =$ ， $A C =$ .

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17. 袋中有大小相同､质地均匀的1个红球､1个绿球和n个黄球.现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 $ξ$ ，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{4}$ ，则 $n =$ ， $E (ξ) =$ .

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = s i n x - c o s x$ $(x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f (x) \cdot f (- x)$ 的最小正周期及其对称中心；

(2)、求函数 $y = [f (x)]^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D$ ， $B C ⊥ P B$ ，且 $A B = A D = P B = P D = \frac{1}{2} C D = 2$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P D$ ；

(2)、若E为 $P A$ 中点，求直线 $C E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是首项为1公比为 $q (q \in N^{*})$ 的等比数列，其前n项和为 $T_{n}$ ，且 $n^{2} (T_{n} + 1) = 2^{n} S_{n}$ ，对任意 $n \in N$ 恒成立.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，记 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $R_{n}$ ，若 $a_{n}^{2} \cdot b_{n} \geq λ (R_{n} - 3)$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 上的点 $A (- 1 ， \frac{3}{2})$ 到两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离之和为4.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F_{2}$ 重合，过点 $P (m ， 0) (m > 0)$ 作直线 $l_{1}$ 交抛物线 $C_{2}$ 于点M，N，直线 $M F$ 交抛物线 $C_{2}$ 于点Q，以Q为切点作抛物线 $C_{2}$ 的切线 $l_{2}$ ，且 $l_{2} / / l_{1}$ ，求 $△ M N Q$ 面积S的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 3 x + 3) - m (x^{2} + 2 x - 3)$ （ $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）.

(1)、若 $m = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有3个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ， $(x_{1} > x_{2} > x_{3})$ ，
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明： $x_{3} > - (\frac{1}{2 x_{1}} + \frac{1}{2 x_{2}})$ .

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