云南省2022届高三理数第二次高中毕业生复习统一检测试卷

试卷更新日期：2022-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $S = {0 ， 1}$ ， $T = {0 ， 3}$ ，则 $S ∪ T =$ =（）

A、 ${0}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 0 ， 3}$

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2. 已知i为虚数单位，设 $z = 1 - \frac{4 i}{1 + i}$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知a、b是函数 $f (x) = (x - c) (d - x) + 1$ 的两个零点，若 $a < b$ ， $c < d$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < c < d < b$ C、 $c < d < a < b$ D、 $c < a < b < d$

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面向量．若 $\vec{a}$ 为单位向量， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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5. 若执行下边的程序框图，则输出的结果 $S =$ （）

A、-1 B、-3 C、-2 D、-7

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6. 某超市为庆视开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{6}{5}$

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7. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{38}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ D、 $\sqrt{29}$

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8. 若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{5} 4$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{3} = 8$ ， $S_{6} = 57$ ，则数列 ${\frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和是（）

A、 $\frac{n}{2 n + 3}$ B、 $\frac{n}{3 n + 2}$ C、 $\frac{3 n}{6 n + 4}$ D、 $\frac{n}{6 n + 4}$

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10. 已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，点 $(2 \sqrt{6} ， - 5)$ 在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则椭圆E的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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11. $\frac{\sqrt{3}}{s i n \frac{π}{9}} - \frac{1}{s i n (- \frac{97 π}{18})} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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12. 三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在以PC为直径的球M的球面上， $P A ⊥ B C$ ．若球M的表面积为 $100 π$ ， $P A = 8$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、24 B、 $\frac{25 π}{3}$ C、27 D、 $\frac{28 π}{3}$

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二、填空题

13. 若 ${(1 + 3 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}$ 的值为．

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14. 设曲线 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 10$ 关于直线 $y = a x - 2$ 对称，则 $a =$ ．

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = \frac{16}{3}$ ， $S_{n} = \frac{1}{3} a_{n + 1}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ．

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16. 已知e是自然对数的底数．若 $\exists x \in [1 ， + \infty)$ ，使 $m e^{m x} - 6 x^{5} l n x ≤ 0$ ，则实数m的取值范围为．

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三、解答题

17. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $\vec{n} = (s i n A - s i n B ， s i n B - s i n C)$ ， $\vec{n} = (a + b ， c)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $B D = \sqrt{3}$ ， $b + 2 c = 4 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．

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18. 某地举行以“决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．
甲、乙两名选手的单项成绩如下表：
单项成绩（单位：分）
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
综合印象
甲
85
90
85
90
乙
87
88
90
87
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.010
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
6.635
10.828

(1)、分别计算甲，乙两名选手的比赛总成绩；

(2)、比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如下表：
是否获奖
性别
获奖
未获奖
男
10
15
女
15
20
能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？

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19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．

(1)、证明： $P A / /$ 平面BDF；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A D = 2$ ， $P A = P D = 4$ ， $P B = 3 \sqrt{2}$ ，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．

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20. 已知e是自然对数的底数， $f (x) = a x - e^{x} + 1$ ．

(1)、设 $a = e$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $\forall x \geq 0$ ，都有 $f (x) ≤ l n (x + 1)$ ，求实数a的取值范围．

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21. 已知曲线C的方程为 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} - | x + 1 | = 0$ ，点D的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点P的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

(1)、设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；

(2)、设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M、N两点，线段MN的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s β \\ y = 3 s i n β \end{array}$ （ $β$ 为参数）射线 $l_{1}$ ： $x = 0 (y \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 交于点A，射线 $l_{2}$ ： $y = \sqrt{3} x (x \geq 0)$ 与曲线 $C_{2}$ 交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；

(1)、直接写出曲线 $C_{1}$ 、射线 $l_{1}$ 的极坐标方程．

(2)、求△AOB的面积．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 3 |$ 的最小值为m．

(1)、求m；

(2)、若a、b都为正实数，且 $a + b = m$ ，证明： $a^{3} + b^{3} \geq 16$ ．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.010	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	6.635	10.828