上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α =$ .

查看试题解析
2. 不等式 $\frac{1}{x - 1} > 1$ 的解集为.

查看试题解析
3. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

查看试题解析
4. 已知球的体积为 $\frac{4}{3} π$ ，则该球的左视图所表示图形的面积为．

查看试题解析
5. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 的圆心到直线： $3 x + 4 y + 4 = 0$ 的距离 $d =$

查看试题解析
6. 若关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2} - b x + c = 0$ 的一根为 $1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $b + c =$ ．

查看试题解析
7. 已知 $m \in R$ ，若直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $9 x + m y + 2 m + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ ．

查看试题解析
8. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 3 \\ 2 x + y \geq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是．

查看试题解析
9. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1 ， b \in R)$ ，若 $f (x)$ 存在反函数，则 $b$ 的取值范围是．

查看试题解析
10. 上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是．（结果用最简分数表示）

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ A = 120 °$ ，若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ， $\vec{B P} \cdot \vec{C P} = - 1$ ，则实数 $λ$ 的值为．

查看试题解析
12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x) + 1$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{3}$ ．设 $f (x)$ 在区间 $[n ， n + 1) (n \in N^{*})$ 上的最小值为 $a_{n}$ ．若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $λ (a_{n} + 1) < 2 n - 7$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围是．

查看试题解析

二、单选题

13. 下列以 $t$ 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线 $x y = 1$ 完全一致的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = t^{\frac{1}{2}} \\ y = t^{- \frac{1}{2}} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = | t | \\ y = \frac{1}{| t |} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = c o s t \\ y = s e c t \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = t a n t \\ y = c o t t \end{array}$

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x$ ， $x \in [a ， b]$ ，则“ $b - a ≥ \frac{π}{2}$ ”是“ $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
15. 某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（）

A、60 B、70 C、80 D、100

查看试题解析
16. 设数列 ${a_{n}}$ ，若存在常数 $t$ ，对任意小的正数 $s$ ，总存在正整数 $n_{0}$ ，当 $n \geq n_{0}$ 时， $| a_{n} - t | < s$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（）

A、若等比数列 ${a_{n}}$ 是收敛数列，则公比 $q \in (0 ， 1)$ B、等差数列不可能是收敛数列 C、设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (S_{n} \neq 0)$ ，则数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 一定是收敛数列 D、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = a_{n} + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是收敛数列

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，已知 $A B$ 为圆柱 $O O_{1}$ 的底面圆 $O$ 的一条直径， $P$ 为圆周上的一点， $O A = 2$ ， $∠ B O P = 60 °$ ，圆柱 $O O_{1}$ 的表面积为 $24 π$ ．

(1)、求三棱锥 $A_{1} - A P B$ 的体积；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A_{1} P B$ 所成的角的大小．

查看试题解析
18. 已知 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x | x - a | - a$ ， $x \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形 $A B C$ 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 20$ （单位：米），E、F为BC上的两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ， $△ A E F$ 区域为休息区， $△ A B E$ 和 $△ A C F$ 区域均为活动区．设 $∠ E A B = α (0 < α < 45 °)$ ．

(1)、求 $A E$ 、 $A F$ 的长（用 $α$ 的代数式表示）；

(2)、为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当 $α$ 为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？

查看试题解析
20. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (0 ， \sqrt{2})$ 、 $B (0 ， - \sqrt{2})$ ，动点 $C (x ， y)$ 关于直线 $y = x$ 的对称点为 $D$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{B D} = \frac{1}{2} x^{2}$ ，动点 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、已知动点 $P$ 在曲线 $E$ 上，点 $Q$ 在直线 $y = 2 \sqrt{2}$ 上，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ ，求线段 $P Q$ 长的最小值；

(3)、过点 $(- \sqrt{2} ， 0)$ 且不垂直于 $x$ 轴的直线交曲线 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M^{'}$ ，试问：在 $x$ 轴上是否存在一定点 $T$ ，使得 $M^{'}$ 、 $N$ 、 $T$ 三点共线？若存在，求出定点 $T$ 的坐标；若不存在，说明理由．

查看试题解析
21. 对于数列 ${a_{n}}$ ，记 $V (n) = | a_{2} - a_{1} | + | a_{3} - a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} - a_{n - 1} | (n > 1 ， n \in N^{*})$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 通项公式为： $a_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} (n \in N^{*})$ ，求 $V (5)$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a$ ， $a_{n} = b$ ，且 $a > b$ ，求证： $V (n) = a - b$ 的充分必要条件是 $a_{i + 1} \leq a_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n - 1)$ ；

(3)、已知 $V (2022) = 2022$ ，若 $y_{t} = \frac{1}{t} (a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{t})$ ， $t = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022$ ．求 $| y_{2} - y_{1} | + | y_{3} - y_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | y_{2022} - y_{2021} |$ 的最大值．

查看试题解析