上海市宝山区2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合A＝｛x｜－ $\frac{1}{2}$ ＜x＜2｝，B＝｛x｜x²≤1｝，则A∪B＝．

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2. 如果函数 $y = {\begin{cases} 2 x - 3 ， x > 0 \\ f (x) ， x < 0 \end{cases}$ 是奇函数，则 $f (- 3) =$ ．

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3. 若线性方程组的增广矩阵为 $(\begin{array}{l} 2 & 3 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2} \end{array})$ 、解为 ${\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$ ，则 $c_{1} - c_{2} =$ ．

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4. 方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是

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5. 若正三棱锥的底面边长为 $\sqrt{2}$ ，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．

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6. 若一组样本数据2，3，7，8， $a$ 的平均数为5，则该组数据的方差 $s^{2} =$ .

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7. 已知点 $P (x ， y)$ 在不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 ， \\ y - 1 \leq 0 ， \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，表示的平面区域上运动，则 $z = x - y$ 的取值范围是

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8. 已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上的点，过点 $P$ 作双曲线两渐近线的平行线 $l_{1} ， l_{2}$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交 $x$ 轴于 $M ， N$ 两点，则 $| O M | \cdot | O N | =$ ．

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9. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边， $a = \sqrt{6} ， b = \sqrt{3} + 1 ， C = 4 5^{0}$ ，则 $A =$ ．

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10. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，则 $p =$

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11. 已知直线 $x + 2 y + \sqrt{5} = 0$ 与直线 $x - d y + 11 \sqrt{5} = 0$ 互相平行且距离为 $m$ .等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $a_{7} a_{8} = 35 ， a_{4} + a_{10} < 0$ ，令 $S_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + ⋯ + | a_{n} |$ ，则 $S_{m}$ 的值为．

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12. 已知 $D ， E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B ， A C$ 的中点， $M$ 是线段 $D E$ 上的一动点(不包含 $D ， E$ 两点)，且满足 $\vec{A M} = α \vec{A B} + β \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{α} + \frac{2}{β}$ 的最小值为．

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二、单选题

13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为实数，且 $c > d$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a - c > b - d$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、充要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B、过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C、平面 $α$ 不垂直平面 $β$ ，但平面 $α$ 内存在直线垂直于平面 $β$ D、若直线 $l$ 不垂直于平面 $α$ ，则在平面 $α$ 内不存在与 $l$ 垂直的直线

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15. 关于函数 $f (x) = (2^{x} - \frac{1}{2^{x}}) \cdot x^{\frac{1}{3}}$ 和实数 $m ， n$ 的下列结论中正确的是（）

A、若 $- 3 < m < n$ ，则 $f (m) < f (n)$ B、若 $m < n < 0$ ，则 $f (m) < f (n)$ C、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{2} < n^{2}$ D、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{3} < n^{3}$

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16. 设函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，其中 $c > a > 0 ， c > b > 0$ ，若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三条边长，则下列结论：①对于一切 $x \in (- \infty ， 1)$ 都有 $f (x) > 0$ ；②存在 $x > 0$ 使 $x a^{x}$ 、 $b^{x}$ 、 $c^{x}$ 不能构成一个三角形的三边长；③ $△ A B C$ 为钝角三角形，存在 $x \in (1 ， 2)$ ，使 $f (x) = 0$ ，其中正确的个数为（）个

A、3 B、2 C、1 D、0

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三、解答题

17. 在长方体 $A B C D$ －A₁B₁C₁D₁中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 3$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的点， $A E = 2 E B$ .

(1)、求异面直线 $A D_{1}$ 与 $E C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $C$ 到平面 $D_{1} D E$ 的距离．

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18. 某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：① $f (x) = p \cdot q^{x} ；$ ② $f (x) = p x^{2} + q x + 1 ；$ ③ $f (x) = A s i n (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4}) + B$ (以上三式中 $p ， q ， A ， B$ 均为非零常数， $q > 1$ .)

(1)、为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?

(2)、若 $f (3) = 8 ， f (7) = 4 ，$ 求出所选函数 $f (x)$ 的解析式(注：函数的定义域是 $[0 ， 10]$ ，其中 $x = 0$ 表示 $1$ 月份， $x = 1$ 表示2月份， $⋯ ⋯$ ，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{- 3^{x} + a}{3^{x + 1} + b}$ ．

(1)、当 $a = b = 1$ 时，求满足 $f (x) \geq 3^{x}$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，又是奇函数，求 $y = f (x)$ 的解析式，判断其在 $R$ 上的单调性并加以证明．

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20. 已知 $F_{1} (- \frac{\sqrt{6}}{2} ， 0) ， F_{2} (\frac{\sqrt{6}}{2} ， 0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点坐标， $P (\sqrt{3} ， 1)$ 是椭圆 $C$ 上的一个定点， $A ， B$ 是椭圆 $C$ 上的两点，点 $M$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $A ， B$ 两点关于 $x$ 轴对称，且 $△ M A B$ 为等边三角形时，求 $A B$ 的长；

(3)、当 $A ， B$ 两点不关于 $x$ 轴对称时，证明：△ $M A B$ 不可能为等边三角形.

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21. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = A a_{n}^{2} + B a_{n} + C$ ，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是常数.

(1)、若 $A = 0$ ， $B = 3$ ， $C = - 2$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $A = 1$ ， $B = \frac{1}{2}$ ， $C = \frac{1}{16}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、试探究 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足什么条件时，数列 ${a_{n}}$ 是公比不为-1的等比数列.

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