山西省运城市2022届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $S = {x \in Z ∣ - 6 < x < 3} ， T = {x ∣ x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x ∣ - 5 < x < 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 欧拉公式（ $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ ）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当 $θ = π$ 时，得到 $e^{i π} + 1 = 0$ ，将数学中几个重要的数字0，1，i，e， $π$ 联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简 $z = \frac{e^{\frac{π}{4} i}}{e^{\frac{π}{2} i}}$ ，则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $S_{n}$ 为正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} + a_{9} = a_{6}^{2}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、22 B、20 C、16 D、11

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4. $\frac{c o s 2 0^{∘} - s i n 3 0^{∘} c o s 4 0^{∘}}{\sqrt{3} s i n 4 0^{∘}} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为1），则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{40}{3}$ B、15 C、 $\frac{56}{3}$ D、20

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6. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和直线l： $x_{0} x + y_{0} y = 1$ ，则“点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在圆C上”是“直线l与圆C相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为 $y = y_{0} e^{- k t}$ （ $y_{0}$ ， k为正常数， $y_{0}$ 表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据 $l n 3 \approx 1.1 ， l n 5 \approx 1.6$ ）

A、12h B、16h C、26h D、33h

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8. 某同学为了 $3 + 33 + 333 + ⋯ + \underset{100 个 3}{\underset{︸}{33 ⋯ 3}}$ ，设计了一个程序框图（如图所示），则在该程序框图中，①②两处应分别填入（）

A、 $m = 11 m ， i > 100 ?$ B、 $m = 11 m ， i > 101 ?$ C、 $m = 10 m + 3 ， i > 100 ?$ D、 $m = 10 m + 3 ， i > 101 ?$

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 $| P H | + | P F_{1} |$ 的最小值为 $(2 + \sqrt{3}) a$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（）

A、120种 B、96种 C、48种 D、24种

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11. 辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为 $a s i n x + b c o s x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} s i n (x + φ)$ ．已知函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ （其中 $a \neq 0 ， b \in R ， t a n φ = \frac{b}{a}$ ）．若 $\forall x \in R ， f (x) ⩽ f (\frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、过点 $(a ， b)$ 的直线与 $f (x)$ 的图象一定有公共点

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12. 已知函数 $f (x) = (a - 2) e^{2 x} - (a + 2) x e^{x} + x^{2}$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{3}$ ${(1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}})}^{2} (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}}) =$ （）

A、8 B、1 C、－8 D、－27

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二、填空题

13. 已知两个单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ$ ＝．

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14. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦距为8，则 $a =$ .

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15. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直， $D A = D B = D C = \sqrt{2}$ ，以 $D$ 为球心， $1$ 为半径作球，则该球的球面与四面体 $A B C D$ 各面交线的长度和为．

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16. 自华为事件以来，国内公司认识到自主创新的重要性，纷纷加大创新的技入．某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产．计划从2022年起，在今后若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的研发与生产，2021年新产品带来的收入为5百万元，并预测在今后相当长的时间内，新产品所带来的收入均在上年度收入的基础上增长 $25 %$ ，记2021年为第1年， $a_{n}$ 表示第1年至第 $n$ 年的累计利润（含第 $n$ 年，累计利润＝累计收入一累计投入），则 $a_{n}$ ＝千万元；根据预测该新产品从第年开始盈利．（参考数据： $1.2 5^{8} \approx 5.96 ， 1.2 5^{9} \approx 7.45$ ）

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三、解答题

17. 家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏，受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关，某阀门厂生产尺寸都为4分（指的是英制尺寸）的甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年（4个季度），现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表，
品牌
甲
乙
首次出现损坏时间x（季度）
$0 < x \leq 4$
$x > 4$
$0 < x \leq 2$
$2 < x \leq 4$
$x > 4$
水龙头数量（件）
20
180
8
16
176
每件的利润（元）
3.6
5.8
2
4
6
将频率视为概率，解答下列问题：

(1)、从该厂生产的甲、乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，试比较首次出现损坏发生在保修期内的概率的大小；

(2)、由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头，若从水龙头的利润的平均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a s i n A - b s i n B = c (s i n C - s i n B)$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求△ABC周长的最大值．

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19. 如图，在几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．

(1)、求证：A，B，D，E四点共面；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线 $x = - 2$ 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过点M（m，0）（m＞0）作两条互相垂直的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 与曲线 $Γ$ 交于A，B两点， $l_{2}$ 与曲线 $Γ$ 交于C，D两点，点P，Q分别为AB，CD的中点，求△MPQ面积的最小值．

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21. 设函数 $f (x) = e^{x + 1} - a x (a \in R) ， g (x) = b e^{x} + m b - 2 x (b ， m \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ 时，存在实数b，使得 $f (x) \leq g (x)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 c o s α \\ y = 3 + 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ - \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于 $P$ 点，与曲线 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2}$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) ⩾ a^{2} - 3 a - | x - 3 |$ 对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

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品牌	甲		乙
首次出现损坏时间x（季度）	$0 < x \leq 4$	$x > 4$	$0 < x \leq 2$	$2 < x \leq 4$	$x > 4$
水龙头数量（件）	20	180	8	16	176
每件的利润（元）	3.6	5.8	2	4	6