山西省太原市2022届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ - 2 \leq x \leq 3} ， N = {x ∣ l n x \geq 1}$ ，则 $M ∩ ∁_{R} N =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 2 ， e)$ C、 $[- 2 ， e]$ D、 $(e ， 3]$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点在第二象限，且 $| z | = | z - i | = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 已知命题p：若 $2^{x} > 1$ ，则 $1 ＜ x ＜ 2$ ；命题q： $x > 0$ ， $l g (x ＋ 1) > 0$ ．那么下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $\neg p \land q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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4. 已知随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1 + a) = P (X \leq 1 - a)$ ，则 $μ =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、－1

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5. 已知函数 $f (x) = c o s x - 2 c o s^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x - \frac{π}{4})$ 为奇函数 B、 $y = f (x - \frac{π}{4})$ 为偶函数 C、 $y = f (x + \frac{π}{4}) - 1$ 为奇函数 D、 $y = f (x + \frac{π}{4}) - 1$ 为偶函数

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ 则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、－1 D、－2

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7. 已知函数 $f (x) = a (e^{x - 1} + e^{1 - x})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 2)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递减 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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8. 某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为 $\frac{3}{4}$ 第二类检验单独通过率为 $p (0 < p < 1)$ ，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为 $\frac{5}{6}$ ．则 $p =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 \sqrt{6} ， 0)$ ，点Q为双曲线左支上一动点，圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与y轴的一个交点为P，若 $| P Q | + | Q F | \geq 8$ ，则双曲线离心率的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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10. 过抛物线 $x^{2} = 8 y$ 焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若 $\vec{M F} = λ \vec{F N}$ ， $| M N | = 9$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或3 D、 $\frac{1}{2}$ 或2

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11. 已知点M是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球O球面上的动点，点N为线段 $B_{1} C_{1}$ 上一点， $N C_{1} = 2 B_{1} N$ ， $D M ⊥ B N$ ，则动点M运动路线的长度为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10} π}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15} π}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15} π}{10}$

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12. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x + c x$ 图象上存在两条互相垂直的切线，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $a + b + c$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 曲线 $y = 2 x + l n x - x^{3}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $3 | \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 3$ ，若 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{14}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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15. 2021年9月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称．为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据．已知玉琮内壁空心圆柱的高为h，且其底面直径为d，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a，且d＜a＜h，则玉琮的体积为． (忽略表面磨损等)

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n + 1} = (n + 2) S_{n}$ ，则数列数列 ${\frac{a_{n + 2}}{2^{n + 1} a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设 $c o s^{2} A + s i n A s i n B = s i n^{2} B + c o s^{2} C$ ．

(1)、求角C；

(2)、若D为AB中点， $C D = \sqrt{7}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是矩形， $A C ⊥ A B$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A_{1} A B = 120 °$ ， E，F分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， BC的中点，G为线段CF的中点．

(1)、证明： $A_{1} G / /$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - B$ 的余弦值．

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19. 足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．

(1)、假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有 $\frac{1}{3}$ 的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；

(2)、某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为 $P_{n}$ ．求证：数列 ${P_{n} - \frac{1}{4}}$ 为等比数列，并求 $P_{n}$ ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时， $| M N | = 3$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2}$ ．

(1)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > x + 1$ ，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x > 0$ 时有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明：
① $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
② $| l n \frac{x_{2}}{x_{1}} | < \sqrt{a^{2} - 2 a + 1} \cdot x_{1} x_{2}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s θ + 2 s i n θ \\ y = c o s θ - s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = 8 \sqrt{2}$ .

(1)、将曲线 $C$ 和直线 $l$ 化为直角坐标方程；

(2)、过原点 $O$ 引一条射线，分别交曲线 $C$ 和直线 $l$ 于 $A$ ， $B$ 两点，射线上另有一点 $M$ 满足 ${| O A |}^{2} = | O M | \cdot | O B |$ ，求点 $M$ 的轨迹方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{1}{2} | - | x - a |$ 的最大值为M，正实数m，n满足m+n=M.

(1)、若不等式 $f (x) + 1 \leq 0$ 有解，求a的取值范围；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，对任意正实数p，q，证明： $m \sqrt{p} + n \sqrt{q} \leq \sqrt{m p + n q}$ .

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