山东省枣庄市2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2 c o s x ， x \in R}$ ，满足 $B ⊊ A$ 的集合 $B$ 可以是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $R$

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2. 命题“ $\forall n \in Z$ ， $n \in Q$ ”的否定为（）

A、 $\forall n \in Z$ ， $n \notin Q$ B、 $\forall n \in Q$ ， $n \in Z$ C、 $\exists n \in Z$ ， $n \in Q$ D、 $\exists n \in Z$ ， $n \notin Q$

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3. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数范围内的两个解，则（）

A、 $| z_{1} - z_{2} | = \sqrt{2}$ B、 $| z_{1} | = \sqrt{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} = 1$ D、 $z_{1} z_{2} = 1$

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4. 下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（）

A、66.5 B、67 C、67.5 D、68

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5. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $A D = 2$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \vec{M C}$ ，点 $N$ 满足 $\vec{N C} = 2 \vec{D N}$ ，则 $\vec{M N} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、0.5 C、3 D、1.5

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则 $t a n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或2 B、2 C、 $- \frac{1}{3}$ 或3 D、3

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ， $B$ 为双曲线在第二象限上的一点， $B$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点为 $C$ ，直线 $C A$ 与直线 $B F$ 的交点 $M$ 恰好为线段 $B F$ 的中点，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知 $a = 5^{l o g_{5} 6} - l o g_{2} 9 \times l o g_{\sqrt{3}} 2$ ， $b = l o g_{5} 6 + l o g_{30} 25$ ， $5^{b} + 1 2^{b} = 1 3^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知正数a，b满足 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最大值是 $\sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ C、a-b的最小值是 $- 1$ D、 $\frac{a}{b - 2}$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 $R_{1} =$ “第一次摸到红球”，事件 $R_{2} =$ “第二次摸到红球”， $G =$ “两次都摸到绿球”， $R =$ “两个球中有红球”，则（）

A、 $P (R_{1}) < P (R)$ B、 $P (R) = P (R_{1}) + P (R_{2})$ C、 $P (G) < 1 - P (R)$ D、 $P (G + R_{2}) = P (G) + P (R_{2})$

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11. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{6}$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过椭圆 $E$ 的左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 交 $E$ 于A，B两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的上方），过椭圆 $E$ 的右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交 $E$ 于C，D两点，则（）

A、若 $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ ，则 $l_{1}$ 的斜率 $k = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $| A F_{1} | + 4 | B F_{1} |$ 的最小值为 $\frac{27}{4}$ C、以 $A F_{1}$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切 D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则四边形 $A D B C$ 面积的最小值为 $\frac{288}{49}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = l n (e^{a x} + 1) - x$ 是偶函数，则实数 $a$ 的值为．

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14. 如图，等腰 $R t △ P A D$ 与矩形 $A B C D$ 所在平面垂直，且 $P A = P D = A B = 2$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为．

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15. 已知随机变量 $X \sim B (6 ， 0.8)$ ，若 $P (X = k)$ 最大，则 $D (k X + 1) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，且直线 $y = - 2$ 与函数 $f (x)$ 的图象在 $[- 2 π ， 0]$ 上有且仅有一个交点，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $S_{n} = 2^{n + 1} - λ (λ \in R)$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、求 $λ$ 及 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + l o g_{2} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ．求：

(1)、 $A$ ；

(2)、 $\frac{a - c}{b}$ 的取值范围．

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19. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，过点 $D_{1}$ 作出正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，使得该截面平行于平面 $B E F$ ．

(1)、作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；

(2)、求 $B D_{1}$ 与该截面所在平面所成角的正弦值．
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）

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20. 已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．

(1)、如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．

(2)、假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择两个选项的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择三个选项的概率为 $\frac{1}{6}$ ．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记 $X$ 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
（i） $P (X = 0)$ ；
（ii） $X$ 的分布列及数学期望．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $G$ 到点 $F (4 ， 0)$ 的距离比到直线 $x + 6 = 0$ 的距离小2．

(1)、求 $G$ 的轨迹的方程；

(2)、设动点 $G$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $F$ 作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线分别交 $C$ 于M，N两点和P，Q两点，其中 $k_{1} + k_{2} = 2$ ．设线段 $M N$ 和 $P Q$ 的中点分别为A，B，过点 $F$ 作 $F D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ．试问：是否存在定点 $T$ ，使得线段 $T D$ 的长度为定值．若存在，求出点 $T$ 的坐标及定值；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a s i n x (a \in R)$ ．

(1)、若 $\forall x \in [0 ， π]$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \geq - 59$ 时，试讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内零点的个数，并说明理由．

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