山东省泰安市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为R，集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 - 2 i}$ ， i是虚数单位，则复数 $\bar{z} - 4$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $(x - \frac{a}{x}) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为4，则实数 $a =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、-4

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4. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{0.5} 0.2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象，如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减 C、曲线 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的最小值是－1

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6. 已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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7. 已知以F为焦点的抛物线 $y^{2} = - 2 x$ 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足 $\vec{O A} - \vec{O B} = λ \vec{F A}$ （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 $- \frac{5}{6}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、4

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8. 已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为 $36 π$ ，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B、在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ \geq 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变

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10. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，且其右顶点为 $A (2 ， 0)$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、点A到双曲线C的渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、若 $| P F_{1} | = 6$ ，则 $| P F_{2} | = 2$ D、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P A} = 0$ ，则 $△ P F_{1} A$ 的外接圆半径为 $\frac{5}{2}$

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11. 已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将△AMN沿MN折起至 $△ A^{'} M N$ ，得到四棱锥 $A^{'} - M N C B$ ，则在四棱锥 $A^{'} - M N C B$ 中，下列说法正确的是（）

A、当四棱锥 $A^{'} - M N C B$ 的体积最大时，二面角 $A^{'} - M N - B$ 为直二面角 B、在折起过程中，存在某位置使BN⊥平面 $A^{'} N C$ C、当四棱锥 $A^{'} - M N C B$ 体积的最大时，直线 $A^{'} B$ 与平面MNCB所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、当二面角 $A^{'} - M N - B$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ 时， $△ A^{'} N C$ 的面积最大

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12. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} + 1$ ， $a \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、对任意的 $a \in R$ ，存在 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) = 0$ B、若 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f (x)$ 在 $(x_{1} ， + \infty)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1 - l n (2 a)}{2}$ D、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $0 < a < \frac{e}{2}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差大于0的等差数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{3} + 2$ ， $a_{4}$ ， $a_{6} - 4$ 成等比数列，则 $a_{10} =$ ．

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14. 已知在边长为4的等边 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ ；

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15. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ .若 $f (\ln 2) = 8$ ，则 $a =$ .

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16. 已知以C为圆心的圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ ．若直线 $2 a x + b y - 2 = 0$ （a，b为正实数）平分圆C，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是；设点 $M (x_{0} ， 3)$ ，若在圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，则 $x_{0}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 a s i n^{2} \frac{B}{2} = \sqrt{3} b s i n A$ ， A的角平分线交BC于点D．

(1)、求B；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求b．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 单调递增，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{a_{n}^{2}}{4} + n$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot 3^{\frac{a_{n}}{2}} - 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点， $\vec{P N} = λ \vec{P B} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、求证：平面DMN⊥平面PAD；

(2)、当 $λ$ 取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

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20. 为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．

(1)、若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；

(2)、若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大 $\frac{1}{6}$ ，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，过其右焦点 $F_{2}$ 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且 $| A B | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l： $y = k x - \frac{1}{2}$ 与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{m x} + n x (m \neq 0)$ ．当m＝1时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．

(1)、若 $f (x)$ 的最小值是1，求m的值；

(2)、若 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程 $f^{'} (x) = k$ 在 $(x_{1} ， x_{2})$ 上有唯一实数根．

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