山东省聊城市2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 + 3 i}{i}$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {a b | a \in A ， b \in A}$ ，则集合 $B$ 中元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
3. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $3^{a} > 3^{b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

查看试题解析
4. 已知点 $P$ 在圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，满足 $A P ⊥ B P$ 的点 $P$ 的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

查看试题解析
5. 已知 $a = \frac{2}{l n 4}$ ， $b = \frac{l n 3}{l n 2}$ ， $c = \frac{3}{2}$ 则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

查看试题解析
6. 已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线 $l$ 是底面所在平面内的一条直线，则该直线 $l$ 与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）

A、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{1}{3} ， 1]$ D、 $[\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， 1]$

查看试题解析
7. 实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 满足： $x_{1}^{2} - l n x_{1} - y_{1} = 0$ ， $x_{2} - y_{2} - 4 = 0$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ 的最小值为（）

A、0 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

查看试题解析
8. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $f (2) = 2$ ，若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} > x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [\frac{f (x_{1})}{x_{2}} - \frac{f (x_{2})}{x_{1}}] < 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (x + 1) > 4$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（）

A、“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 B、“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立 C、第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是 $\frac{3}{10}$ D、在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
10. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗 $A$ 到达最高点时开始计时，设水车转动 $t$ （分钟）时水斗 $A$ 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为 $f (t)$ （米），下列选项正确的是（）

A、 $f (t) = 5 c o s 4 π t + 4$ （ $t \geq 0$ ） B、 $f (t) = 5 s i n (π t + \frac{π}{2}) + 4$ （ $t \geq 0$ ） C、 $- \frac{1}{2}$ 是函数 $f (t)$ 的周期 D、在旋转一周的过程中，水斗 $A$ 距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．

查看试题解析
11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A$ ， $B$ ，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、若 $| A F | = 4$ ，则 $| O A | = \sqrt{21}$ C、若 $| A F | \cdot | B F | = 4 p^{2}$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、过点 $A$ 作准线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $x$ 轴平分 $∠ H F B$ ，则 $| A F | = 4$

查看试题解析
12. 用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 $π$ 倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）

A、底面椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、侧面积为 $24 \sqrt{2} π$ C、在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 $36 π$ D、底面积为 $4 \sqrt{2} π$

查看试题解析

三、填空题

13. 如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为．

查看试题解析
14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 6 0^{∘}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ 的值是．

查看试题解析
15. 设 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = - \frac{4}{x}$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $x_{n} \in [\frac{1}{5} ， 5]$ 使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n - 1}) + g (x_{n})$ $= g (x_{1}) + g (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + g (x_{n - 1}) + f (x_{n})$ 成立，则正整数 $n$ 的最大值为．

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ ，当 $n \in [2^{k - 1} ， 2^{k})$ 时， $a_{n} = k (k \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $2^{n}$ 项的和为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $3 S_{n - 1} = S_{n} - 1$ （ $n \geq 2$ ）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{3} \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ， AC＝2，∠ADC＝∠CAB＝90°，设∠ACD＝ $θ$ .

(1)、若 $θ$ ＝60°，求BD的长度；

(2)、若∠ADB＝30°，求tan $θ$ 的值

查看试题解析
19. 春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 3$ ）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.

(1)、若一、二等奖的获奖概率之和不大于 $\frac{4}{9}$ ，求n的最小值；

(2)、规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $△ A C D$ 是等边三角形， $A C = 2$ ．

(1)、若 $A B = 1$ ，求证： $B C ⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若二面角 $E - A B - D$ 为30°， $E C = 1$ ，求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值．

查看试题解析
21. 如图，点 $M$ 是圆 $A$ ： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点，点 $B (\sqrt{3} ， 0)$ ，线段 $M B$ 的垂直平分线交半径 $A M$ 于点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、点 $N$ 为轨迹 $E$ 与 $y$ 轴负半轴的交点，不过点 $N$ 且不垂直于坐标轴的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $S$ ， $T$ 两点，直线 $N S$ ， $N T$ 分别与 $x$ 轴交于 $C$ ， $D$ 两点．若 $C$ ， $D$ 的横坐标之积是2，问：直线 $l$ 是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = x e^{- x} + \frac{1}{2} a x^{2} - a x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，证明：当 $- e^{- 3} < a < 0$ 时，函数 $g (x)$ 有两个极值点.

查看试题解析