内蒙古包头市2022届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-05-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 5}$ ， $B = {x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq - \frac{1}{2}}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 6}$ C、 ${x | - \frac{1}{2} \leq x < 5}$ D、 ${x | 5 < x \leq 6}$

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2. 已知i为虚数单位，若 $z (1 + i)^{2} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - i$ B、 $- \frac{1}{2} + i$ C、 $- \frac{1}{2} - i$ D、 $\frac{1}{2} + i$

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3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2} - m_{1} = \frac{5}{2} l g \frac{E_{1}}{E_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}$ $(k = 1 ， 2)$ ．已知星 $A$ 的星等是-3.5，星 $B$ 的星等是-1.5，则星 $A$ 与星 $B$ 的亮度的比值为（）

A、 $1 0^{\frac{4}{5}}$ B、 $1 0^{- \frac{4}{5}}$ C、 $1 0^{\frac{5}{4}}$ D、 $1 0^{- \frac{5}{4}}$

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4. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的体积为（）

A、8 B、 $\frac{16}{3}$ C、12 D、 $\frac{14}{3}$

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5. 设 $0 < a < 1$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
0
1
2
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{a}{2}$
$\frac{1 - a}{2}$
当a在 $(0 ， 1)$ 内增大时，则（）

A、 $D (ξ)$ 减小 B、 $D (ξ)$ 增大 C、 $D (ξ)$ 先减小后增大 D、 $D (ξ)$ 先增大后减小

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，设甲： $d < 0$ ；乙： ${S_{n}}$ 是递减数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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7. 若 $a \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $t a n 2 α = \frac{3 c o s α}{2 - s i n α}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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8. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=50 $m$ ， ∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为（）

A、 $40 \sqrt{5}$ $m$ B、 $45 \sqrt{5}$ $m$ C、 $50 \sqrt{5}$ $m$ D、 $55 \sqrt{5}$ $m$

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，R是C上的一点，且 $∠ F_{1} R F_{2} = 120 °$ ， $| R F_{1} | ： | R F_{2} | = 4 ： 1$ ， C经过点 $Q (2 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ，则C的实轴长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、3

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10. 将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11. 已知A，B，C，D是半径为R的球O的球面上的四个点，△ABC为等边三角形且它的外接圆 $O_{1}$ 的面积为 $12 π$ ，三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为 $18 \sqrt{3}$ ，则R的值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (x + 3)$ 为偶函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (1) + f (4) = 5$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = m | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45°，则 $m =$ ．

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14. 曲线 $y = \frac{2 x + 3}{x + 3}$ 在点 $(- 2 ， - 1)$ 处的切线方程为.

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15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为-1的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，若 $| M F | + | N F | = 8$ ，则 $l$ 的方程为．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则满足条件 $(f (x) + f (- \frac{5 π}{4}))$ $(f (x) + f (\frac{7 π}{3})) < 0$ 的最小正偶数x为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为互不相等的正数，且 $a_{1} = 1$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；②数列 ${S_{n} + 1}$ 是等比数列；③ $a_{5} = 4 a_{3}$
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
$P$ $(K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；

(2)、在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．
①请将下面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？
②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？
$2 \times 2$ 列联表

优秀
非优秀
合计
男生
10
女生
50
合计
100

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19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为正方形. $A B = B C = B B_{1} = 3$ ， D，E分别为AC和 $A A_{1}$ 上的点，且 $A D = 2 D C$ ， $A_{1} E = 2 E A$ ， F为棱 $B_{1} C_{1}$ 上的点， $B E ⊥ B_{1} C_{1}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ，且 $B E ⊥ D F$ ；

(2)、当 $C_{1} F$ 为何值时，平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？

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20. 设 $O$ 为坐标原点，动点 $P$ 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，点 $M$ 满足 $\vec{Q M} = k \vec{Q P}$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时，点 $M$ 的轨迹为圆，并求出该圆的方程；

(2)、当点 $M$ 的轨迹为圆时，设点 $N$ 在直线 $x = 3$ 上，且 $\vec{O M} \cdot \vec{M N} = - 3$ ，证明：过点 $M$ 且垂直于 $\vec{O N}$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点 $F$ ．

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21. 已知m>0且m≠1，函数 $f (x) = \frac{x^{m}}{m^{x}}$ .

(1)、当m=2时，求 $f (x)$ 的极值点；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $M_{k}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = k c o s^{k} α ， \\ y = k s i n^{k} α ， \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、当 $k = 2$ 时，曲线 $M_{2}$ 是什么曲线？并求 $M_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、当 $k = 4$ 时，求 $M_{4}$ 与 $M_{2}$ 的公共点的直角坐标．

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 4$ ．

(1)、证明： $(a + b) (a^{3} + b^{3}) \geq 16$ ；

(2)、若 $t = m i n {a ， \frac{b}{4}}$ ，证明： $t^{2} \leq \frac{1}{2}$ ．

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$P$ $(K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$ξ$	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{a}{2}$	$\frac{1 - a}{2}$

	优秀	非优秀	合计
男生	10
女生			50
合计			100