高中数学人教A版（2019）选择性必修三第七章随机变量及其分布 7.4 二项分布

试卷更新日期：2022-05-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 现调查某群体使用微信支付的情况，假设该群体中的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设随机变量X~B $(10 ， p)$ ，且满足 $D (X) = 2.4$ ， $P (X = 4) > P (X = 6)$ ，则p＝（）

A、0.7 B、0.4 C、0.6 D、0.3

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2. 若随机变量 $X ~ B (n ， 0.6)$ ，且 $E (X) = 3$ ，则 $P (X = 1)$ 的值是（）

A、 $2 \times 0 . 4^{4}$ B、 $3 \times 0 . 4^{4}$ C、 $3 \times 0 . 6^{4}$ D、 $2 \times 0 . 6^{4}$

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3. 设随机变量 $ξ ∼ B (2 ， p) ， η ∼ B (4 ， p)$ ，若 $P (ξ \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $P (η \geq 2)$ 的值为（）

A、 $\frac{32}{81}$ B、 $\frac{11}{27}$ C、 $\frac{65}{81}$ D、 $\frac{16}{81}$

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4. 已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（）

A、 $\frac{36}{625}$ B、 $\frac{9}{125}$ C、 $\frac{108}{625}$ D、 $\frac{54}{125}$

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二、多选题

5. 一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A、从中任取3球，恰有一个白球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 $\frac{80}{243}$ C、从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 $\frac{2}{5}$ D、从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 $\frac{26}{27}$

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6. 袋子中有3个黑球2个白球现从袋子中有放回地随机取球4次取到白球记1分，黑球记0分，记4次取球的总分数为 $X$ ，则（）

A、 $X ~ B (4 ， \frac{2}{5})$ B、 $P (X = 2) = \frac{144}{625}$ C、 $X$ 的期望 $E (X) = \frac{12}{5}$ D、 $X$ 的方差 $D (X) = \frac{24}{25}$

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三、填空题

7. 已知随机变量 $ξ ～ B (3 ， \frac{2}{3})$ ，则 $D (3 ξ - 1) =$ .

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8. 若随机变量 $X ~ B (n ， \frac{1}{3})$ ，且 $E (X) \in N^{*}$ ，写出一个符合条件的 $n =$ .

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9. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，记 $p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ， $k = 0$ ， 1，2，…，n．在研究 $p_{k}$ 的最大值时，该小组同学发现：若 $(n + 1) p$ 为正整数，则 $k = (n + 1) p$ 时， $p_{k} = p_{k - 1}$ ，此时这两项概率均为最大值；若 $(n + 1) p$ 为非整数，当k取 $(n + 1) p$ 的整数部分，则 $p_{k}$ 是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为的概率最大．

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10. 进入2021年以来，大学生学理财成为一种新的趋势，已知年初小赵买进某个理财产品，设该产品每年收益率为 $X$ ，根据历史数据可知， $P (X > 0) = 2 P (X \leq 0)$ ，则小赵在大学期间投资该产品4年，至少有2年收益为正的概率为.

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11. 袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立.设此过程中取到的红球个数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 1) =$ ， $E (ξ) =$ .

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四、解答题

12. 某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试.笔试分为三个环节，每个环节都必须参与.应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为 $\frac{3}{4}$ .若笔试，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工，各个环节相互独立.

(1)、求应聘者甲未能参与面试的概率；

(2)、记应聘者甲本次应聘通过的环节数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列以及数学期望；

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13. 某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.

(1)、若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；

(2)、已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

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14. 将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用.

(1)、求一个坑不需要补种的概率；

(2)、求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；

(3)、求X的数学期望.

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15. 惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 $\frac{2}{3}$ .甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)、求甲小组至少答对2个问题的概率；

(2)、若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？

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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布

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二、多选题

三、填空题

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