云南省2022届高中毕业生理数第一次复习统一检测试卷

试卷更新日期：2022-05-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $S = {x | - 2 x \leq 2}$ ， $T = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1}$ B、 ${- 2 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{5}{i - 2} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $\frac{5}{4} - \frac{1}{4} i$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \leq 0 \\ s i n \frac{π x}{2} ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. ${(2 x - 1)}^{5}$ 的二项展开式中第4项的系数为（）

A、-80 B、-40 C、40 D、80

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，圆 $F$ 的半径为2，双曲线 $C$ 的一条渐近线与圆 $F$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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6. 某中学为提高学生的健康水平，增设了每天40分钟的体育锻炼课程，学生可以在跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、排球等课程中选择一门.为了解该校学生参与乒乓球运动的情况，在全校班级中随机抽取了7个班（将其编号为1，2，…，7），下表是这7个班参与乒乓球运动的人数统计表：
班编号
1
2
3
4
5
6
7
人数/人
15
10
14
15
9
11
13
若从这7个班中随机选取2个进行调查研究，则选出的2个班中至少有1个班参与乒乓球运动的人数超过12人的概率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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7. 若 $4^{a} = 0 . 8^{b} = π$ ，则（）

A、 $a b < 0 < a + b$ B、 $a + b < 0 < a b$ C、 $a + b < a b < 0$ D、 $a b < a + b < 0$

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8. 为得到函数 $y = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象，只需要将函数 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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9. 下列图形是某几何体的三视图（正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图与侧视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是面积等于 $4 π$ 的圆.若该几何体的侧面展开图是个半圆，则这个几何体的体积等于（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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10. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ .若 $s i n^{2} C = 2 s i n^{2} A - 3 s i n^{2} B$ ，则 $t a n B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{11 \sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知抛物线 $M$ 的顶点在原点，焦点在 $y$ 轴负半轴上.经过抛物线 $M$ 的焦点作直线与抛物线 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $| A B | = 12$ ，线段 $A B$ 的中点的纵坐标为 $- 5$ ，则抛物线 $M$ 的方程为（）

A、 $x^{2} = - 14 y$ B、 $x^{2} = - 4 y$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $y^{2} = - 14 x$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是直线 $A B$ 上的点.若 $2 \vec{B D} = \vec{C B} + λ \vec{C A}$ ，记 $△ A C B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ （）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{λ}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq x - 1 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = 6 x + 4 y + 2$ 的最大值等于.

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14. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量 $X$ 表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量 $10 X + 13$ 的数学期望 $E (10 X + 13) =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $c o s (A - B)$ 的值为.

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16. 若曲线 $y = \frac{(x - 3) (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2)}{x^{2} + l n x - 3} + 4 l n (3 x + 1)$ 在点 $(1 ， 8 l n 2)$ 处的切线与直线 $2 x = a y - 2$ 平行，则 $a =$ .

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三、解答题

17. 下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
$y$ （单位：人）
2
4
4
7
8
经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度很高.请建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并据此回归方程预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数.
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $4 a_{n} - 2 S_{n} - 3^{n} + 1 = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n} - 3^{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} - 3^{n} + l o g_{2} | a_{n} - 3^{n} |$ ，求数列 ${b_{2 n - 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $E$ 是 $A_{1} C$ 的中点， $D$ 是线段 $A C$ 上的点， $A_{1} C ⊥ E D$ ， $A_{1} A = A B = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $E B D$ 所成二面角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = (2 a + 1) x^{2} - 2 x^{2} l n x - 4$ ， $e$ 是自然对数的底数， $\forall x > 0$ ， $e^{x} > x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $p$ ： $f (x)$ 有两个零点； $q$ ： $a > l n 2$ .求证： $p$ 是 $q$ 的充要条件.要求：先证充分性，再证必要性.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F_{1} (- 6 ， 0)$ ， $F_{2} (6 ， 0)$ ， $F (2 ， 0)$ .动点 $C$ 与 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离的和等于18，动点 $D$ 满足 $\vec{D C} + \vec{D F_{1}} + \vec{D F_{2}} = \vec{0}$ .动点 $D$ 的轨迹与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 的横坐标小于 $B$ 的横坐标， $M$ 是动点 $D$ 的轨迹上异于 $A$ ， $B$ 的动点，直线 $A M$ 与直线 $x = 3$ 交于 $E$ 点，设直线 $A M$ 的斜率为 $k$ ， $B E$ 的中点为 $T$ ，点 $M$ 关于直线 $F T$ 的对称点为 $P$ .

(1)、求动点 $D$ 的轨迹方程；

(2)、是否存在 $k$ ，使 $P$ 的纵坐标为0？若存在，求出使 $P$ 的纵坐标为0的所有 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，射线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = β$ ，射线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = β + \frac{π}{3}$ .

(1)、直接写出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $O$ 、 $A$ 两点， $l_{2}$ 与 $C$ 交于 $O$ 、 $B$ 两点，求 $| O A | + | O B |$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 2 |$ ， $g (x) = | x + 2 | - | x - 1 |$ .

(1)、求证： $\forall x \in (- \infty ， + \infty)$ ， $f (x) - g (x) \geq 0$ ；

(2)、已知 $a$ 为常数， $f (x) \leq a \leq g (x)$ 有实数解.若 $m > 0$ ， $n \geq 0$ ，且 $2 m + n = a$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{m + n}$ 的最小值.

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
$y$ （单位：人）	2	4	4	7	8

班编号	1	2	3	4	5	6	7
人数/人	15	10	14	15	9	11	13