上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-07 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} |$ =.

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2. 函数 $y = l o g_{2} (x + 1)$ 的反函数为.

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3. 若直线 $l_{1} ： 2 x + m y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： 3 x - y - 1 = 0$ 互相垂直，则实数 $m =$ .

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4. 若 $2 + i$ （ $i$ 虚数单位）是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根，则 $p + q =$ .

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5. 已知 $s i n x = \frac{3}{5}$ ， $x \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则行列式 $| \begin{array}{l} s i n x & - 1 \\ 1 & s e c x \end{array} |$ 的值等于.

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6. 已知 $A = {x | \frac{2}{x} > 1}$ ， $B = {x | l o g_{2} (x - 1) < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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7. 在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于.

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y \leq 4 \\ y \geq x \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值为.

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9. 若 $(x + \frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$ $(n \in N^{*})$ 展开式中各项系数的和等于 $64$ ，则展开式中 $x^{3}$ 的系数是.

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10. 三行三列的方阵 $(\begin{array}{l} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \end{array})$ 中有9个数 $a_{i j} (i = 1 ， 2 ， 3 ； j = 1 ， 2 ， 3)$ ，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是． (结果用分数表示)

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为 $Q^{'}$ ，点P关于直线 $x = 1$ 的对称点为 $P^{'}$ ，且满足 $P^{'} Q^{'} ⊥ P Q$ ，则直线l的方程为.

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12. 若函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $(2 π ， 3 π)$ 内既没有最大值 $1$ ，也没有最小值-1，则 $ω$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 设 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，则“ $x_{1} + x_{2} > 6$ 且 $x_{1} x_{2} > 9$ ”是“ $x_{1} > 3$ 且 $x_{2} > 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 数列{ $a_{n}$ }为等差数列， $a_{1} > 0$ 且公差 $d > 0$ ，若 $l g a_{1}$ ， $l g a_{3}$ ， $1 g a_{6}$ 也是等差数列，则其公差为（）

A、1gd B、1g2d C、lg $\frac{2}{3}$ D、1g $\frac{3}{2}$

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15. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点P在C上（P不与 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 重合）且直线 $P A_{2}$ 的斜率的取值范围是 $[- 2 ， - 1]$ ，那么直线 $P A_{1}$ 斜率的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ ] B、[ $\frac{3}{8}$ ， $\frac{3}{4}$ ] C、[ $\frac{1}{2}$ ， 1] D、[ $\frac{3}{4}$ ， 1]

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16. 定义域是 $[a ， b]$ 上的连续函数 $y = f (x)$ 图像的两个端点为 $A (a ， f (a))$ 、 $B (b ， f (b))$ ， $M (x ， y)$ 是图像 $y = f (x)$ 上任意一点，过点 $M$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 交线段 $A B$ 于点 $N$ （点 $M$ 与点 $N$ 可以重合），我们称 $| \overset{⇀}{M N} |$ 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是 $[1 ， 2]$ 上的函数中，曲径最小的是（）

A、 $y = s i n \frac{π}{3} x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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三、解答题

17. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使 $∠ C O E = \frac{π}{3}$ ，连结PE.已知 $| O A | = 1$ ， $| P A | = 2$ .

(1)、求该圆锥的体积；

(2)、求异面直线PE、BD所成角的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + 3$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 5$ 的解集是 $(- 1 ， 2)$ ，求m的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上有且仅有一个零点，求m的取值范围.

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19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， $∠ M O N = \frac{π}{2}$ ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

(1)、若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

(2)、当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中 $t \in (0 ， a)$ .

(1)、若椭圆短轴长为2 $\sqrt{3}$ 且经过点（－1， $\frac{3}{2}$ ），求椭圆方程；

(2)、对（1）中的椭圆，若 $t = \sqrt{3}$ ，求△OPQ面积的最大值；

(3)、在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.

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21. 已知a为实数，数列{ $a_{n}$ }满足：① $a_{1} = a$ ；② $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} - 3 & a_{n} > 3 \\ 4 - a_{n} & a_{n} \leq 3 \end{array} (n \in N^{*})$ .若存在一个非零常数 $T \in N^{*}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + T} = a_{n}$ 都成立，则称数列{ $a_{n}$ }为周期数列.

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；

(2)、求证：存在正整数n，使得 $0 \leq a_{n} \leq 3$ ；

(3)、设 $S_{n}$ 是数列{ $a_{n}$ }的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{ $a_{n}$ }为周期数列；②存在正奇数k，使得 $S_{k} = 2 k$ .若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.

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