陕西省咸阳市2022届高三下学期理数三模试卷

试卷更新日期：2022-05-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $(1 + i) x = 1 + y i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $x ， y$ 是实数，则 $| x + y i | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $e^{x} > 0$ ，命题 $q ： \exists x_{0} \in (0 ， 1)$ ， $l o g_{\frac{1}{2}} (x_{0} + 1) > 0$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land q$

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3. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 4 a_{3}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、16 B、32 C、64 D、-32

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4. 飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为 $\frac{2}{3}$ ，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{8}{9}$

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5. 素数也叫质数，部分素数可写成“ $2^{n} - 1$ ”的形式（ $n$ 是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“ $2^{n} - 1$ ”形式（ $n$ 是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为 $P = 2^{4423} - 1$ ，第19个梅森素数为 $Q = 2^{4253} - 1$ ，则下列各数中与 $\frac{P}{Q}$ 最接近的数为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、 $1 0^{45}$ B、 $1 0^{51}$ C、 $1 0^{56}$ D、 $1 0^{59}$

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6. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0 ， \sqrt{3})$ 的距离与 $P$ 到 $y$ 轴的距离之和的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $1 + \sqrt{3}$

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7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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8. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) = - 3 \cos (α - \frac{π}{6})$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- 4 \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x， $y \in R$ ，那么输出的S的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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10. 设 $(5 x - \sqrt{x})^{n}$ 的展开式的各项系数之和为 $M$ ，二项式系数之和为 $N$ ，若 $M - N = 240$ ，则展开式 $x^{3}$ 的系数为（）

A、-150 B、150 C、-500 D、500

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11. 古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）

A、 $(\sqrt{5} + 1) π$ B、 $(1 + 2 \sqrt{5}) π$ C、 $(\sqrt{5} + 2) π$ D、 $(2 + 2 \sqrt{5}) π$

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12. 已知定义在R上的可导函数 $f (x)$ ，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = e^{2 x} f (x)$ ，当 $x > 0$ 时 $f (x) + f^{'} (x) < 0$ ，若 $e^{2 a - 1} f (2 a - 1) \leq e^{a + 1} f (a + 1)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 2]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

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14. 观察下列不等式 $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ， …照此规律，第n个不等式为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前2022项和为．

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16. 已知集合 $A_{0} = {x | 0 < x < 1}$ .给定一个函数 $y = f (x)$ ，定义集合 $A_{n} = {y | y = f (x) ， x \in A_{n - 1}}$ ，若 $A_{n} ∩ A_{n - 1} = ϕ$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，则称该函数 $y = f (x)$ 具有性质“ $φ$ ”

(1)、具有性质“ $φ$ ”的一个一次函数的解析式可以是；

(2)、给出下列函数：① $y = \frac{1}{x}$ ；② $y = x^{2} + 1$ ；③ $y = c o s (\frac{π}{2} x) + 2$ ，其中具有性质“ $φ$ ”的函数的序号是.

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三、解答题

17. 已知的数 $f (x) = \sqrt{3} s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - c o s^{2} \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (A) = \frac{1}{2}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形， $△ P B C$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形， $B D = P D$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面PBD；

(2)、设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．

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19. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占 $\frac{3}{5}$ ，统计后得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？

(2)、按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，线段 $O F_{1}$ ， $O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形．

(1)、求椭圆C方程；

(2)、设圆心为原点，半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与椭圆C都只有一个交点．试判断 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是否垂直？并说明理由．

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} + m l n (x + 1) (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上存在唯一零点，求实数m的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中， $⊙ C$ 的圆心 $C (1 ， 2)$ ，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ．

(1)、求 $⊙ C$ 的极坐标方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $⊙ C$ 相交于A、B两点，求线段 $A B$ 的长．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq | 2 a + 1 |$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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	销售额不少于30万元	销售额不足30万元	合计
线上销售时间不少于8小时	17		20
线上销售时间不足8小时
合计			45

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828