湖北省十堰市五校联考2021-2022学年八年级下学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-05-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列根式是最简二次根式的（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{8}$

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2. 下列各式中，计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$

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3. 下列命题的逆命题是真命题的有（）
①等边三角形是锐角三角形；②全等三角形的对应角相等；③平行四边形的对角线相互平分；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

A、③④ B、①②③ C、②③④ D、②③

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4. 如图在Rt $△ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ， $O A = 2$ ， $A B = 1$ ，在 $O B$ 上截取 $B C = A B$ ，在 $A O$ 上截取 $O P = O C$ ， $O A$ 在数轴上， $O$ 为原点，则 $P$ 点对应的实数是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A、9 B、6 C、4 D、3

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6. 下列结论正确的是（）

A、 $- 3 \sqrt{2} < - 2 \sqrt{5}$ B、若 $x < 3$ ，化简 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} + | 3 - x | = 6 - 2 x$ C、 $a \sqrt{- \frac{1}{a}} = \sqrt{- a}$ D、若x表示 $\sqrt{10}$ 的整数部分，y表示它的小数部分，则 $y (\sqrt{10} + x) = 7$

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7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 $40 m / m i n$ ，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（）

A、南偏西30° B、南偏东60° C、北偏西30°或南偏东30° D、南偏东60°或北偏西60°

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8. 如图，EF过 $▱ A B C D$ 对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.则① $O E = O F$ ；②若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，则 $2 < B D < 14$ ；③ $S_{△ A O B} = \frac{1}{4} S_{▱ A B C D}$ ；④图中共有4对全等三角形；⑤ $S_{四边形 A B F E} = S_{△ A B C}$ .其中正确结论的有（）个.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形.若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是（）

A、8 $\sqrt{3}$ B、6 $\sqrt{3}$ C、18 D、12

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10. 如图， $▱ A B C D$ 的面积为5，它的两条对角线交于点 $O_{1}$ ，以AB、 $A O_{1}$ 为两邻边作平行四边形 $A B C_{1} O_{1}$ ，平行四边形 $A B C_{1} O_{1}$ 的对角线交BD于点 $O_{2}$ ，同样以AB、 $A O_{2}$ 为两邻边作平行四边形 $A B C_{2} O_{2}$ ， …，依此类推，则平行四边形 $A B C_{n} O_{n}$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2 n}$ B、 $\frac{5}{2^{n}}$ C、 $\frac{5}{2^{n - 1}}$ D、 $\frac{5}{2^{n + 1}}$

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二、填空题

11. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A D C = 119 ° ， B E ⊥ D C$ 于点E， $D F ⊥ B C$ 于点F， $B E$ 与 $D F$ 交于点H，则 $∠ B H F =$ 度．

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12. 如图， $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD交于点O， $A B ⊥ A C$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则BD的长为.

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13. 对于任意的正数m，n定义运算 $*$ 为： $m * n = {\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{array}$ ，计算 $(3 * 2) + (8 * 12)$ 的结果为.

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14. 若等腰三角形的两条边a，b满足 $2 \sqrt{3 a - 6} + 3 \sqrt{2 - a} = b - \sqrt{5}$ ，则等腰三角形的周长为.

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15. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，点E，F分别为BC，AD上一点，连接EF，将四边形CDFE沿EF所在直线折叠，使点C恰好与点A重合，点D落在 $D^{'}$ 处，则AE的长为.

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16. 如图，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC，BC=6，∠ABC=45°，在对角线BD上有一动点P，边BC上有一动点Q，使PQ+PC最小，则这个最小值为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{6} \div \sqrt{\frac{1}{3}} - | \sqrt{8} - 3 | + {(\sqrt{5} - 1)}^{0}$

(2)、 $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - {(\sqrt{2} + 1)}^{2}$

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18. 先化简，再求值： $(\frac{x + 1}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ .

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19.

(1)、已知 $m = \sqrt{3} - 1$ ， $n = \sqrt{3} + 1$ ，求代数式 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值.

(2)、已知 $x - \frac{1}{x} = 2$ ，求 $\sqrt{x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 14}$ 的值.

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20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点.利用网格作图：

(1)、请你在网格中画出长为4的线段AB，长为 $\sqrt{13}$ 的线段BC，其中线段AB为水平方向，且以AB，BC为邻边作 $▱ A B C D$ （图形必须在网格内，且顶点都在格点上）.

(2)、求（1）中 $▱ A B C D$ 对角线的长.

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21. 已知CD是 $△ A B C$ 的边AB上的高，若 $C D = \sqrt{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，求AB长.

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22. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？

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23. 已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知____.（填序号）.

(1)、在① $B E = D F$ ， ② $A E ∥ C F$ 中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程.

(2)、求证：四边形AECF为平行四边形.

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24. 在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 12$ .

(1)、若 $B D = 10$ ， $A C = 26$ ，求 $S_{▱ A B C D}$ ；

(2)、若 $∠ A D C = 105 °$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长.

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25. 在学习完《勾股定理》这一章后，小唯和小鹿进行了如下对话：
根据对话回答问题：

(1)、判断：等边三角形“类勾股三角形”；等腰直角三角形“类勾股三角形”（填“是”或“不是”）

(2)、已知 $△ A B C$ 其中两边长分别为1， $\sqrt{7}$ ，若 $△ A B C$ 为“类勾股角形”，则另一边长为：.

(3)、如果 $R t △ A B C$ 是“类勾股三角形”，它的三边长分别为a，b，c（a，b为直角边且 $a < b$ ， c为斜边），用只含有a的式子表示其周长和面积.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， a)$ 在y轴正半轴上，点 $B (b ， 0)$ 在x轴正半轴上， $A B ⊥ A D$ 且 $A B = A D$ . $| a - 4 | + {(b - 3)}^{2} = 0$ .

(1)、求AB；

(2)、在y轴上是否存在一点P，使得 $P B + P D$ 最小？若存在，请求出 $P B + P D$ 的最小值；

(3)、在x轴上是否存在一点M，使 $△ M A B$ 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标.

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