陕西省安康市2022届高三下学期理数4月三模试卷

试卷更新日期：2022-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $2 (z + \bar{z}) - 3 (z - \bar{z}) = 4 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 已知集合 $M = {x | y = l o g_{2} (2 x - 1)}$ ， $N = {x | \frac{x + 1}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 3]$

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3. 已知函数 $f (x) = A t a n (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度后与原图象重合，则实数 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (2 + 3 x) ， x \geq 1 ， \\ f (x + 4) ， x < 1 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 2022)) =$ （）

A、2 B、3 C、 $l o g_{2} 9$ D、 $l o g_{2} 11$

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，则直线 $A_{1} D$ 与直线 $B_{1} M$ 所成角大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 直线 $l ： y = k x + 1 - k$ 与函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图象有两个公共点的充要条件为（）

A、 $k > 0$ B、 $0 < k < 2$ C、 $0 < k \leq \frac{1}{2}$ D、 $- 2 < k < 0$

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7. 已知 $t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{s i n^{3} θ + s i n θ}{c o s^{3} θ + s i n θ c o s^{2} θ} =$ （）

A、6 B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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8. 已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点，直线 $y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| F A | + | F B | = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $3 p - 2 m = 8$ B、 $3 p + 2 m = 8$ C、 $2 m - 3 p = 8$ D、 $3 m + 2 p = 8$

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9. 已知 $(x + 2) {(x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{8} (a < 0)$ 的展开式各项系数和为768，则其展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、70 B、140 C、280 D、112

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10. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{0.3} 0.2$ ， $c = l o g_{0.2} 3$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $t a n A = - \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} a$ ，则 $b c$ 的最小值为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、48 D、 $24 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ ， $f (x) - f^{'} (x) < 0$ 恒成立，则 $e^{x} f (x + 1) > e^{4} f (2 x - 3)$ 的解集是（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \infty ， 4)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 λ - 3 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， λ - 5)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线 $l$ 与直线 $g ： a x + 2 b y + a = 0$ 平行，则直线 $l$ ， $g$ 间的距离为．

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15. 已知四面体ABCD中，AC=3，其余棱长均为2，则该四面体外接球的表面积是．

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16. 近年来，人口问题已成为一个社会问题，人口老龄化，新生儿数量减少等问题已对我国的经济建设产生影响．为应对人口问题的挑战，2016年1月1日起全面放开二胎，2021年1月1日起全面放开三胎．下表是2016年～2020年我国新生儿数量统计：
年份x
2016
2017
2018
2019
2020
数量y（万）
1786
1758
1532
1465
1200
研究发现这几年的新生儿数量与年份有较强的线性关系，若求出的回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 297183$ ，则 $\hat{b} =$ ，说明我国这几年的新生儿数量平均约以每年万的速度递减（结果保留一位小数），这种趋势如果得不到遏制，我国人口形势将会非常悲观．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 4^{n + 1} - k$ ．

(1)、求实数k的值，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n} l o g_{4} \frac{a_{n}}{3}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{2 n}$ ．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $B C = A A_{1} = 2$ ，点D是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的一点，且 $A C_{1}$ //平面 $A_{1} B D$ ．

(1)、证明： $B_{1} D = D C_{1}$ ；

(2)、若点M是棱AC上的一点， $A M = 2 M C$ ，求二面角 $B - A_{1} D - M$ 的大小．

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19. 常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：
得分
4
5
6
7
8
9
10
女生
2
9
14
13
11
5
4
男生
3
5
7
11
10
4
2
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $(n = a + b + c + d)$ ．
临界值表：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

未能掌握
基本掌握
合计
女生
男生
合计

(2)、从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在 $C$ 上， $c$ 为椭圆 $C$ 的半焦距．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若经过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ （异于 $P$ ）两点，与直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 交于点 $M$ ，设 $P A$ ， $P B$ ， $P M$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，求证： $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = a x + 1$ ．

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数a的值；

(2)、若 $x \in (0 ， 1)$ ，求证： $\frac{1 - l n x}{f (x)} + x - \frac{1}{x} < 1$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - \frac{4}{5} t ， \\ y = \frac{3}{5} t \end{array}$ (t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $4 s i n θ = ρ - \frac{21}{ρ}$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l和曲线C相交于A，B两点，求 $| A B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = (x + 1) (| x | + | x + 2 |)$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、当 $x \geq - 1$ 时， $f (x) \geq m x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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年份x	2016	2017	2018	2019	2020
数量y（万）	1786	1758	1532	1465	1200

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

得分	4	5	6	7	8	9	10
女生	2	9	14	13	11	5	4
男生	3	5	7	11	10	4	2

	未能掌握	基本掌握	合计
女生
男生
合计