辽宁省沈阳市2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z满足 $(3 - 2 i) z = 13$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | 0 < x < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${4 ， 5}$ D、{5}

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d， $a_{1} > 0$ ，则“ $a_{5} > 0$ ”是“ $d > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t} (t \geq 0)$ ，其中k为常数， $k > 0$ ， $P_{0}$ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1} + a_{4} = 18$ ， $a_{2} a_{3} = 32$ ，若 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{k + 10} - S_{k} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则正整数k等于（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（）

A、9：4 B、9：5 C、3：2 D、3：1

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点M，N在C上，且 $\vec{F_{1} F_{2}} = 3 \vec{M N}$ ， $\vec{F_{1} M} ⊥ \vec{F_{2} N}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

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8. 若直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x + b_{2} (k_{1} \neq k_{2})$ 是曲线 $y = l n x$ 的两条切线，也是曲线 $y = e^{x}$ 的两条切线，则 $k_{1} k_{2} + b_{1} + b_{2}$ 的值为（）

A、 $e - 1$ B、0 C、-1 D、 $\frac{1}{e} - 1$

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二、多选题

9. 如图，在 $4 \times 4$ 方格中，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{c} |$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{c} \neq \vec{b} \cdot \vec{c}$

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10. 甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（）

A、甲的10次成绩的极差为4 B、甲的10次成绩的75%分位数为8 C、甲和乙的20次成绩的平均数为8 D、甲和乙的20次成绩的方差为1

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A B ∥ C D$ ，则（）

A、平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 B、平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行 C、平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行 D、平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行

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12. 已知奇函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (1 - x) - f (1 + x) + 2 x = 0$ 恒成立，若 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 单调递增，则（）

A、 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上单调递减 B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2022) = 2022$ D、 $f^{'} (2023) = 1$

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三、填空题

13. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，在C上有一点P， $| P F | = 8$ ，则点P到x轴的距离为．

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14. 已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = P (ξ \geq a - 3)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为．

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15. 将 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 这5名同学从左至右排成一排，则 $A$ 与 $B$ 相邻且 $A$ 与 $C$ 之间恰好有1名同学的排法有种.

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16. 以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式 $T_{n} (x)$ 和第二类切比雪夫多项式 $U_{n} (x)$ ，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数． $T_{n} (x)$ 有许多良好的结论，例如：① $T_{1} (x) = x$ ， $T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ，对于正整数 $n \geq 3$ 时，有 $T_{n} (x) = 2 x \cdot T_{n - 1} (x) - T_{n - 2} (x)$ 成立，② $\forall θ \in R$ ， $T_{n} (c o s θ) = c o s n θ$ 成立．由上述结论可得 $T_{4} (c o s 18 °)$ 的数值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} = 2 n$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足对任意正整数 $m \geq 2$ 均有 $b_{m - 1} + b_{m} + b_{m + 1} = \frac{1}{a_{m}}$ 成立．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的前99项和．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a - b = c (c o s B - c o s A)$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状并给出证明；

(2)、若 $a \neq b$ ，求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ⊥ C D$ ，且 $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $B C = 5$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、在线段PD上是否存在一点M，使二面角 $M - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ？若存在，求三棱锥 $M - A B C$ 体积；若不存在，请说明理由．

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20. 甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．

(1)、甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\frac{1}{2}$ ．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；

(2)、乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、经过椭圆右焦点F且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使 $| A F | \cdot | B T | = | B F | \cdot | A T |$ 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的值；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
① $f (x) > x l n x - s i n x$ ；
② $f (x) > x (l n x - 1) - c o s x$ ．

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