辽宁省葫芦岛市2022届高三数学第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | 2^{x} < 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1} C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数 $z = \frac{2 - i}{1 - 3 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{8}$

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3. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot n)$ ， c为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本方差相同 B、两组样本数据的样本众数相同 C、两组样本数据的样本平均数相同 D、两组样本数据的样本中位数相同

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4. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）．

A、－120 B、120 C、－60 D、60

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5. 某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足 $M = 2.8 - l g N$ ．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ $\sqrt[10]{10} \approx 1.259$ ）（）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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6. 函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 单调递增，且为奇函数，若 $f (2) = 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x + 3) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 5 ， - 1]$ D、 $[1 ， 5]$

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7. 已知直线 $l ： k x - y + 2 = 0$ 恒过定点M，点N在曲线 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 8 = 0$ 上，若 $| O M | = | O N |$ （O为坐标原点），则 $△ M O N$ 的面积为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位，使新函数为偶函数，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、多选题

9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $M (2 ， 2 \sqrt{2})$ ，焦点为F，则（）

A、点M到焦点的距离为3 B、直线MF与x轴垂直 C、直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切 D、过点M与C相切的直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$

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10. 对于实数 $a$ ， $b$ ， $m$ 下列真命题的为（）

A、若 $a > b$ ，则 $a m^{2} > b m^{2}$ B、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a | a | > b | b |$ D、若 $a > b > 0$ ，且 $| l n a | = | l n b |$ ，则a+2b的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足 $M N / /$ 平面ABC的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = | e^{x} - 1 |$ ， $- 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 2$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $M (x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与两坐标轴交点分别为 $(m ， 0)$ ， $(0 ， p)$ ；在点 $N (x_{2} ， f (x_{2}))$ 的切线为 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 与两坐标轴交点分别为 $(n ， 0)$ ， $(0 ， q)$ ．若两条切线互相垂直，则下列变量范围正确的是（）

A、 $m + n \in (0 ， e + \frac{1}{e} - 2)$ B、 $m - n \in (0 ， e^{2} - \frac{1}{e} - 4)$ C、 $p + q \in (- \frac{3}{e^{2}} - e^{2} ， 0)$ D、 $p - q \in (0 ， 2 - \frac{2}{e})$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (λ ， - 1)$ ， $λ \in R$ ．若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 写出一个使命题“ $\exists x \in (2 ， 3)$ ， $m x^{2} - m x - 3 > 0$ ”成立的充分不必要条件（用m的值或范围作答）．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ，对于任意正整数m，n，都满足 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + m n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2021}} =$ ．

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16. 已知双曲线G的方程 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，已知点P坐标为 $(4 ， 2)$ ，双曲线G上点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ ， $(x_{0} > 0 ， y_{0} > 0)$ 满足 $\frac{\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{P F_{1}}}{| \vec{Q F_{1}} |} = \frac{\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{P F_{1}}}{| \vec{F_{2} F_{1}} |}$ ，则 $S_{△ F_{1} P Q} - S_{△ F_{2} P Q} =$ ．

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $S_{8} = 0$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值．

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18. 如图，四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上．已知 $c o s B = - \frac{4}{5}$ ， $A D = B C = 3$ ， $C D = 5$ ．

(1)、求边AB的长；

(2)、设 $∠ B A C = α$ ， $∠ A C B = β$ ，求 $s i n (2 α + β)$ 的值．

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19. 如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A_{1} A = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、证明： $A_{1} E ⊥ C E_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - C E_{1} - F$ 的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (- \sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．条件①： $\vec{P F_{2}} \cdot \vec{P F_{1}} = 1$ ；条件②：离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相切，且与椭圆C交于MN两点，求 $△ O M N$ 面积的取值范围．

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21. 葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，且每袋钼矿品位是否达标相互独立．

(1)、若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

(2)、已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标．
①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作 $ξ$ ，求 $E (ξ)$ ；
②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？

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22. 已知函数 $f (x) = x + b (1 + l n x)$ ， $(b \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} s i n x$ ，若存在 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求证：
① $b < 0$ ；
② $x_{1} x_{2} < 4 b^{2}$ ．

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