贵州省普通高等学校招生2022届高三理数全国统一模拟测试试卷

试卷更新日期：2022-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = x}$ ， $B = {(x ， y) | y = x^{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{0} B、 ${(1 ， 1)}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 若复数 $z = a + (b - 2) i ， (a ， b \in R)$ 在复平面内对应的点在直线 $x - y - 2 = 0$ 上，则 $a - b =$ （）

A、-4 B、0 C、2 D、4

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3. ${(x - \frac{2}{x})}^{10}$ 展开式中第5项的系数是（）

A、 $C_{10}^{4}$ B、 $C_{10}^{4} 2^{4}$ C、 $- C_{10}^{5}$ D、 $- C_{10}^{5} 2^{5}$

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4. 已知命题 $p$ ：函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2，命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ， $l n (| x | + 1) \geq 0$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $¬ p \land q$ C、 $p \land (¬ q)$ D、 $¬ (p \lor q)$

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5. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $K (n) = λ l n n$ （ $λ$ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 $n$ 与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且 $Q = \frac{T}{λ} + 1$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $Q = 6$ ， $T = 50$ .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（ $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）（）

A、22.0天 B、13.8天 C、24.8天 D、17.9天

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6. 已知角 $α$ 满足 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴的一个端点是由双曲线的一个焦点和虛轴的两个端点所构成的三角形的重心，则该双曲线的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 如图，这是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A、 $12 + 18 π$ B、 $18 + 12 π$ C、12 D、 $12 + 12 π$

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9. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，则 $f (2022) =$ （）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 在一个边长为4的正方形的四边上分别取一个距顶点最近的四等分点，连接成正方形，再在新的正方形中，以同样的方式形成一个更小的正方形，如此重复9次，得到如图所示的一个优美图形.若在这个大正方形内部随机投掷一粒豆子，则这粒豆子落在图中阴影部分的概率为（）

A、 ${(\frac{3}{4})}^{10}$ B、 ${(\frac{3}{4})}^{9}$ C、 ${(\frac{5}{8})}^{9}$ D、 ${(\frac{5}{8})}^{10}$

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11. 如图，已知多面体 $A B C D E F$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，四边形 $A C F E$ 为等腰梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C F E$ ，且 $E F = \frac{1}{2} A C$ ， $A E = \frac{1}{2} A B$ ，则该几何体外接球的表面积为（）

A、12π B、16π C、20π D、24π

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12. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，点 $A ， B ， C$ 是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 的图象从左至右的某三个相邻交点，且 $| A B | = 3 | B C | = \frac{3 π}{4}$ ，则下列命题中正确的是（）
① $m = \sqrt{2}$ ；②函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；③函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；④将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的函数图象关于原点对称.

A、①②③ B、②④ C、①③④ D、①④

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ ，则 $| \vec{c} | =$ .

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15. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为a， $b$ ， c，已知 $a = 2$ ， $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{a}{c o s A} + \frac{c}{c o s C} = 4 b$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $M$ 、 $N$ 为椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且 $F_{1} M / / F_{2} N$ ，则 $| F_{1} N | + | F_{2} M |$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 2021年9月30日，电影《长津湖》在各大影院.上映，并获得一致好评.该片是以长津湖战役为背景，讲述了一个中国志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为长津湖战役胜利作出重要贡献的感人的历史故事.某同学看完电影后以抗美援朝时期的历史为内容制作了一份知识问卷，并邀请了该校100名同学（男女各一半）参与了问卷的知识竞赛，将得分情况统计如下表：
得分
性别
$[20 ， 30]$
$(30 ， 40]$
$(40 ， 50]$
$(50 ， 60]$
$(60 ， 70]$
$(70 ， 80]$
$(80 ， 90]$
男生
5
8
13
4
10
5
5
女生
3
10
12
10
6
5
4
将比赛成绩超过60分的考生视为对抗美援朝的历史了解.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635

(1)、从这100名同学中随机抽选一人，求该位同学对抗美援朝的历史了解的频率；

(2)、能否有95%的把握认为对抗美援朝的历史了解与性别有关?

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} - 2 a_{n} + 2 = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列， $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{5} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 是由数列 ${b_{n}}$ 的项删去数列 ${a_{n}}$ 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列 ${c_{n}}$ 的前50项和 $T_{50}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是边长为4的正三角形， $A B = 2$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C$ 上的投影为点 $M$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ .

(2)、求二面角 $A - P C - B$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = a l n x + x^{2} - (a + 2) x (a \in R)$

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ （ $e$ 为自然对数的底数)上有零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (- 2 ， y_{0})$ 为抛物线上一点，抛物线C在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ ，且 $△ F P Q$ 的面积为2.

(1)、求抛物线的方程.

(2)、若斜率不为0的直线 $l$ 过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段 $A B$ 的中垂线与y轴交于点M.证明： $\frac{| M F |}{| A B |}$ 为定值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} m \\ y = 1 + m \end{array}$ （ $m$ 为参数），曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、已知点 $P (0 ， 1)$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | 2 x - 6 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 5$ 的解集.

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $2 a + b = 2$ ，证明： $\forall x \in R$ ， $\exists a ， b \in R^{+}$ ， $f (x) \geq \frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635