主观题之--数列--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

试卷更新日期：2022-05-06 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 2$ ， $b_{5} + b_{7} = 34$ ，令 $c_{n} = a_{n} - b_{n}$ ，（ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| c_{n} |}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{3} = 6$ ， $S_{4} = 20$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2 (n^{2} + 1)}{(n + 1)^{2} + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{S_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ， $n \in N^{*}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \geq \frac{111}{112}$ ，求 $n$ 的最小值．

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{3} = 6$ ， $S_{4} = 20$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2 (n^{2} + 1)}{{(n + 1)}^{2} + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ．
（I）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（II）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{S_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ， $n \in N^{*}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \geq \frac{111}{112}$ ，

求 $n$ 的最小值．

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 a_{n} - \frac{8}{4 S_{n} - 3 a_{n}}$ .

(1)、求实数 $λ$ 的值，使得 ${S_{n}^{2} + λ}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3^{n}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和.

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + (2 n - 11) a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，设数列 ${| b_{n} |}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列{ $b_{n}$ }的前n项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} = b_{1} = 2 ， b_{3} = a_{7} ， T_{3} = S_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{a_{n + 1}}{a_{n} b_{n}}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n} < 1$ .

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7. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} - a_{n} = 2 S_{n - 1}$ ， $(n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 与前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $T_{n} \geq \frac{2 n}{3 n + 1}$ ．

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $\sqrt{S_{n} + c} = λ a_{n} + μ$ （ $n \in N^{*}$ ， $λ$ ， $μ$ ， $c \in R$ ， $λ$ ， $μ$ ， c为常数）.

(1)、若 $c = 0$ ， $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ ，证明 ${a_{n}}$ 为等差数列.

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其首项和公差都为1，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，其首项和公比都为2，数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} < \frac{7}{10}$ ．

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1 = 0$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，数列 ${\frac{b_{n + 1} - b_{n}}{a_{n} + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $n^{2} + n$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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11. 已知数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，数列 ${a_{n}}$ 满足 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，且 $a_{4} = b_{5} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = | a_{n} b_{n} |$ ，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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12. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ 且 $2 a_{3} ， a_{5} ， 3 a_{4}$ 成等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n + 1} ， S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{S_{n} - n}{n a_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 4$ .

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13. 已知公比 $q > 1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 和等差数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ，其中 $a_{2} = b_{4}$ ，且 $a_{2}$ 是 $b_{2}$ 和 $b_{8}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若当 $n \in N^{*}$ 时，等式 ${(- 1)}^{n} λ - T_{n} < 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $3 b_{n} + (n - 4) a_{n} = 0$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的范围.

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15. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 4} (n \in N^{*})$ ．

(1)、设 $a > 0$ ，若数列 ${l o g_{a} (\frac{1}{a_{n}} + 1)}$ 是公差为2的等差数列，求a的值；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明 $5 \leq S_{n} < 4 n + \frac{4}{3}$ ．

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16. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2} + 1$ 与 $a_{5} - 5$ 的等差中项，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n} = (n + 2) 2^{n + 2} - 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - b_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = - 11$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1} + 15$ $(n \in N^{*})$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} + 15}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前三项的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = | a_{n} |$ ，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{7} = 9$ ， $a_{4} a_{5} = 20$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + b_{n + 1} = 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、分别求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $| T_{n} - 3 | > \frac{1}{a_{n}}$ ，求n的值.

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19. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} = S_{3} = a_{2}^{2} ．$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 2$ ，且 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} = b_{n + 1} - 2 ．$ 若对任意的正整数 $n$ ，不等式 $λ^{2} \cdot b_{n} - 2^{n + 1} \leq λ \cdot (S_{n} - 1)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{4}$ ，且 $S_{n} = \frac{n^{2}}{2 n + 1} \cdot a_{n + 1} ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ 的值，并证明：数列 ${\frac{a_{n}}{2 n - 1}}$ 是一个常数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sqrt{\frac{4}{S_{n} S_{n + 1}}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $16 T_{k} - 2 S_{k + 1} > 89$ ，求正整数 $k$ 的值.

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