2022年广西百色市高考5月模拟卷1

试卷更新日期：2022-05-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $x = l o g_{0.1} 7$ ， $y = l g \sqrt{7}$ ，对于命题 $p ： x + y < x y$ ； $q ： x + y > 0$ ，下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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2. $已知 \frac{\bar{z}}{1 + i} = 2 + i ，则复数 z =$ （）

A、 $1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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3. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若 $| M N | = 10$ ，则线段 $M N$ 的中点到y轴的距离为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = - c o s (2 x + \frac{3 π}{4})$ ，下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ B、 $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

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5. 地球的表面积为5.1亿平方千米，而陆地面积为1.49亿平方千米.右侧的扇形统计图表示的是各大洲面积占地球陆地面积的百分比，则关于七大洲的说法中，正确的是（）

A、非洲的面积最大 B、大洋洲的面积占地球表面积的6% C、大洋洲的面积大约为0.306亿平方千米 D、亚洲的面积超过0.298亿平方千米

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6. 2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科大斯基公式： $v_{f} = v_{0} + ω l n \frac{m_{0}}{m_{k}}$ ，其中 $m_{0}$ ， $m_{k}$ 分别为燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量， $ω$ 是燃料喷出的速度， $v_{0}$ 是火箭的初速度， $v_{f}$ 是燃料完全燃尽时火箭的速度，现准备发射一个二级火箭（初速度 $v_{0} = 0$ ），每级火箭的箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带的燃料质量均为250吨，燃料喷出的速度为 $3000 m / s$ ，先点燃第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃料燃尽时，火箭的速度约为（）（参考数据： $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 2 \approx 0.69$ ）

A、 $6940 m / s$ B、 $7440 m / s$ C、 $7840 m / s$ D、 $8670 m / s$

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7. 已知 $a_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项积，若 $\frac{1}{b_{n}} - \frac{2}{a_{n}} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $3 - 2 n$ B、 $- 3 + 2 n$ C、 $3 - 4 n$ D、 $1 - 2 n$

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8. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形： $A B$ 是半圆O的直径，点D在半圆周上， $C D ⊥ A B$ 于点C，设 $A D = a$ ， $B D = b$ ，直接通过比较线段 $O D$ 与线段 $C D$ 的长度可以完成的“无字证明”为（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ） D、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）

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9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $168 + 6 π$ B、 $132 + 6 π$ C、 $168 + 24 π$ D、 $132 + 24 π$

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10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线 $C$ ： $ρ \sin^{2} θ = 2 a \cos θ (a > 0)$ ，过点 $P (- 2 ， - 4)$ 的直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C$ 分别交于 $M$ 、 $N$ 两点.若 $| P M |$ 、 $| M N |$ 、 $| P N |$ 成等比数列，求 $a$ 的值（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ 且 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为奇函数， $h (x)$ 为偶函数．若关于x的方程 $2 a g (x) + h (2 x) = 0$ 在 $(0 ， 1]$ 上有两个解，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{41}{24} ， - \sqrt{2}]$ B、 $[- \frac{41}{24} ， - \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{41}{24}]$ D、 $[\sqrt{2} ， \frac{41}{24}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， x < 0 \\ l n x ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f [f (x) + 2] + 2$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x的值为.

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14. 某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是

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15. $(x - y) {(x + 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，若函数 $h (x) = f (x - 4) + x$ ，则函数 $h (x)$ 的图象的对称中心为；若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{11} = 44$ ， $h (a_{1}) + h (a_{2}) + ⋯ + h (a_{11}) =$ ．

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三、解答题

17. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表：
日期
7月10日
7月11日
7月12日
7月13日
7月14日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y})^{2} = 434$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 64$ ， $\sqrt{4340} \approx 65.979$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，回归直线方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若 $0.3 < | r | < 0.75$ ，则线性相关程度一般，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

(2)、求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列.

(1)、若 $c c o s B + b c o s C = \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在整数 $a$ 使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求此钝角的余弦值；否则，请说明理由.

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19. 如图①，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A D = B C = C D = 2$ ， $A B = 4$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，以 $D E$ 为折痕把 $△ A D E$ 折起，连接 $A B$ ， $A C$ ，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值．
①四棱锥 $A - B C D E$ 的体积为2；
②直线 $A C$ 与 $E B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 如图，设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，圆 $E ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与y轴的正半轴的交点为A， $△ A E F$ 为等边三角形.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设抛物线C上的点 $P (\frac{1}{4} ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线 $Q M$ ， $Q N$ 均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - x + \frac{1}{x} (a > 0)$ ．

(1)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = x f (x) + x^{2} - 1$ ，方程 $g (x) = m$ 的根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} > 1 + e m$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + 3 s i n α + 4 c o s α ， \\ y = 4 s i n α - 3 c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ．

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于点A，B，求 $| \frac{1}{| O A |} - \frac{1}{| O B |} |$ ．

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23. 已知 $a ， b ， c \in R^{+}$ ， $a + b + c = 3$ .

(1)、求 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} + \sqrt{c + 1}$ 的最大值；

(2)、求证： $\frac{a^{2} + c^{2}}{b} + \frac{b^{2} + a^{2}}{c} + \frac{c^{2} + b^{2}}{a} \geq 6$ .

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日期	7月10日	7月11日	7月12日	7月13日	7月14日
第x天	1	2	3	4	5
人数y（单位：万人）	75	84	93	98	100