广西南宁市2022届高三高中毕业班理数第二次适应性测试试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N | 0 \leq x \leq 9}$ ， $B = {- 1 ， 2 ， 3 ， 6 ， 9 ， 10}$ ，则 $∁_{A} (A ∩ B) =$ （）．

A、 ${0 ， 1 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8}$ B、 ${1 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8}$ C、 ${2 ， 3 ， 6 ， 9}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知i是虚数单位，若 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{1} = - 1 + i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $α$ 是钝角且 $s i n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）．

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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4. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）．

A、4 B、9 C、-4 D、-9

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5. 已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点， $C F = 2 F B$ ， $C G = 2 G D$ ，将 $△ A B D$ 沿着BD折起得到空间四边形 $A_{1} B C D$ ，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）．

A、 $E F ∥ G H$ B、EF与GH相交 C、EF与GH异面 D、EH与FG异面

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6. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何?”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是

A、15 B、16 C、18 D、21

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为底面A₁B₁C₁D₁的中心，E为 $A A_{1}$ 的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是（）．

A、 $O C ∥$ 平面BDE B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ C、平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、三棱锥 $A - B D E$ 的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$

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9. 已知圆 $O_{1} ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $O_{2} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过动点P分别作圆 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，则动点P的轨迹方程为（）．

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 33$

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10. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，命题 $p ： 2 m + n = m n$ ，命题 $q ： m + n \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ ，则p是q的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知F是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若 $| P F | = 5 | Q F |$ 且 $∠ P F Q = 120 °$ ，则椭圆E的离心率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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12. 设大于1的两个实数a，b满足 $\frac{l n^{2} b}{e^{2 a}} < {(\frac{b}{a})}^{n}$ ，则正整数n的最大值为（）．

A、7 B、9 C、11 D、12

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ)$ ，若 $\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = 0$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 某医院现临时安排2名医护工作者到社区完成3项疫情防控宣传工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有种．（结果用数字作答）

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} - 2$ ， $a_{2} = 12$ ，则 $S_{4} =$ ．

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16. $f (x) = \sqrt{3} c o s^{2} x - s i n x c o s x$ 在 $[- m ， m]$ 上单调递减，则实数m的最大值是．

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三、解答题

17. 从① ${(c c o s B + b c o s C)}^{2} + \sqrt{3} b c = b^{2} + c^{2}$ ；② $\frac{s i n (A + C)}{b} = \frac{c o s A}{\sqrt{3} a}$ ；③ $b (2 - \sqrt{3} c o s A) = a s i n B$ ．选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
已知 $△ A B C$ 中内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若____．

(1)、求角A的大小；

(2)、设 $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有60％的城市供水不足，严重缺水的城市高达16.4％．某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照 $[0 ， 4)$ ， $[4 ， 8)$ ， …， $[16 ， 20]$ 分成5组，制成了如下频率分布直方图．

(1)、设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数；

(2)、若该市政府希望使85％的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）；

(3)、假设该市最终确定三级阶梯价制如下：
级差
水量基数x（单位：t）
水费价格（元/t）
第一阶梯
$x ≤ 14$
1.4
第二阶梯
$14 < x ≤ 20$
2.1
第三阶梯
$x > 20$
2.8
小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值．

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20. 设函数 $f (x) = a (x - 2 l n x) + \frac{x - 1}{x^{2}}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 设抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点M在C上， $| M F | = 2$ ，若以MF为直径的圆过点 $(1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (y < 0)$ 上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求 $△ O A B$ 的面积的取值范围(O为坐标原点)．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = a c o s θ (a > 0)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、若曲线 $C_{2}$ 上恰有三个点到曲线 $C_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，求实数a的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + b | (a > 0 ， b > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，解不等式 $f (x) < x + 8$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值是2，证明： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 2} + \frac{1}{a b} \geq \frac{5}{3}$ ．

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级差	水量基数x（单位：t）	水费价格（元/t）
第一阶梯	$x ≤ 14$	1.4
第二阶梯	$14 < x ≤ 20$	2.1
第三阶梯	$x > 20$	2.8