广东省湛江市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若 $z = \frac{2 + i}{i} + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - 5 i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + 5 i$ D、 $1 + i$

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) =$ （）

A、﹣6 B、﹣4 C、2 D、4

查看试题解析
3. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {y | y = \sqrt{4 - 2^{x}}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 2)$

查看试题解析
4. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且 $α ∩ β = m$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是“ $n ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知直线 $y = k x (k < 0)$ 与圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 11$ 相交于A，B两点，且 $| A B | = 6$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{5}{12}$

查看试题解析
6. 若 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\sqrt{a} + \frac{4}{b} = 9$ ，则 $b + \frac{\sqrt{a}}{a}$ 的最小值为（）

A、9 B、3 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
7. 若 $a = l g 0.2$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{6} 4$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

查看试题解析
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，从 $F_{2}$ 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 $c o s ∠ B A C = - \frac{4}{5}$ ， $A B ⊥ B D$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析

二、多选题

9. 某学校组建了合唱､朗诵､脱口秀､舞蹈､太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）

A、这五个社团的总人数为100 B、脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C、这五个社团总人数占该校学生人数的4% D、从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

查看试题解析
10. 已知 $π$ 是函数 $y = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω \neq 0)$ 的一个周期，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、﹣2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

查看试题解析
11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、直线DE与直线AC所成角为定值 B、点E到直线AB的距离为定值 C、三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值 D、三棱锥 $E - A_{1} B D$ 外接球的体积为定值

查看试题解析
12. 若过点 $P (1 ， λ)$ 最多可作出 $n (n \in N^{*})$ 条直线与函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ 的图象相切，则（）

A、 $λ + n < 3$ B、当 $n = 2$ 时， $λ$ 的值不唯一 C、 $λ n$ 可能等于-4 D、当 $n = 1$ 时， $λ$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{4}{e}) \cup {0}$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $t a n (α - β) = \frac{3}{2}$ ， $t a n β = 2$ ，则 $t a n α =$ .

查看试题解析
14. 拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (2 ， m)$ 为C上一点，若 $| P F | = 3$ ，则 $m =$ .

查看试题解析
15. $(81 + \frac{1}{x}) {(x - \frac{1}{3})}^{5}$ 的展开式中常数项为.

查看试题解析
16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为.

查看试题解析

四、解答题

17. 如图，一架飞机从 $A$ 地飞往 $B$ 地，两地相距 $200 k m$ .飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 $θ$ 角的方向飞行，飞行到 $C$ 地，再沿与原来的飞行方向成 $4 5^{∘}$ 角的方向继续飞行 $60 \sqrt{2} k m$ 到达终点.

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两地之间的距离；

(2)、求 $t a n θ$ .

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、从① $S_{1} = 1$ ， ② $2 S_{n + 1} = S_{n} + 2$ ， ③ $S_{n} + a_{n} = 2 a_{1}$ 这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在第（1）问的前提下，若 $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.

查看试题解析
19. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A、B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A、B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.A、B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到20000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对A、B两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.

(1)、若记 $X$ 为甲同学优先挑战 $A$ 类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出 $X$ 的分布列；

(2)、为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

查看试题解析
20. 在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是正方形，且侧棱 $A A_{1}$ 垂直于底面ABCD， $A A_{1} = A D = 2 A_{1} D_{1} = 4$ ， O，E分别是AC与 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $O E ∥$ 平面A₁BD₁.

(2)、求 $C C_{1}$ 与平面A₁BD₁所成角的正弦值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x} - x$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，若 $f (x)$ 在 $(0 ， \sqrt{m})$ 上存在最大值，求m的取值范围；

(2)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且四边形 $A_{1} F_{1} A_{2} F_{2}$ 是面积为8的正方形.

(1)、求C的标准方程.

(2)、M，N为C上且在y轴右侧的两点， $M F_{1} / / N F_{2}$ ， $M F_{2}$ 与 $N F_{1}$ 的交点为P，试问 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

查看试题解析