广东省深圳市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1} ， B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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2. 已知复数z满足 $z i = 3 + 4 i$ ，其中i为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知点 $A (0 ， 1) ， B (2 ， 3)$ ，向量 $\vec{B C} = (- 3 ， 1)$ ，则向量 $\vec{A C} =$ （）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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4. 深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）

A、3.3万人 B、3.4万人 C、3.8万人 D、3.9万人

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5. 已知一个球的表面积在数值上是它的体积的 $\sqrt{3}$ 倍，则这个球的半径是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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6. 若 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x) = c o s ω x (ω \neq 0)$ 图象的对称轴，则 $f (x)$ 的最小正周期的最大值是（）

A、π B、 $2 π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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7. 已知 $a > 0$ ，若过点 $(a ， b)$ 可以作曲线 $y = x^{3}$ 的三条切线，则（）

A、 $b < 0$ B、 $0 < b < a^{3}$ C、 $b > a^{3}$ D、 $b (b - a^{3}) = 0$

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8. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 $| F A | = 3 | F B |$ ，则直线l的倾斜角等于（）

A、30º或150º B、45º或135º C、60º或120º D、与p值有关

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二、多选题

9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A B$ 的中点，则下列条件中，能使直线 $E F$ $/ /$ 平面 $A C D_{1}$ 的有（）

A、F为 $A A_{1}$ 的中点 B、F为 $B B_{1}$ 的中点 C、F为 $C C_{1}$ 的中点 D、F为 $A_{1} D_{1}$ 的中点

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10. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，密度函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ，若 $x > 0$ ，则（）

A、 $f (- x) = 1 - f (x)$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $P (| X | \leq x) = 2 f (x) - 1$

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11. 已知 $(2 - x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 1$ C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + ⋯ + | a_{8} | = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 8 a_{8} = - 8$

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12. P是直线 $y = 2$ 上的一个动点，过点P作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，A，B为切点，则（）

A、弦长 $| A B |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ B、存在点P，使得 $∠ A P B = 90 °$ C、直线AB经过一个定点 D、线段AB的中点在一个定圆上

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三、填空题

13. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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14. 设 $0 < x < 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{1 - x}$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - k x$ 是偶函数，则 $k =$ ．

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16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线 $y = \pm 2$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线 $y = t (- 2 \leq t \leq 2 ）$ 所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 $S =$ ；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 $V =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < \frac{13}{20}$ ，求满足条件的最大整数n．

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a + c = 2 b c o s A$ ．

(1)、证明： $B = 2 A$ ；

(2)、当 $a = 4 ， b = 6$ 时，求 $△ A B C$ 的面积S．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，M是侧棱 $P D$ 的中点，且 $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 $\frac{1}{3}$ ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 $\frac{1}{3} < p < \frac{1}{2}$ ．

(1)、若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)、为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 $E (X)$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且焦距 $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ，线段 $A B ， C D$ 分别是它的长轴和短轴．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若 $N (s ， t)$ 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线 $P Q$ 经过定点．
① $s = 1 ， t \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $N A ， N B$ 与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
② $t = 2 ， s \in R$ ，直线 $N C ， N D$ 与椭圆E的另一交点分别为P，Q．

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x} - a x^{2} - 2 a x + 2 a^{2} - a$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x)$ 存在小于零的极小值时，若 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $f (s i n x_{1}) < f (x_{1} c o s x_{2})$ ，证明： $x_{1} > x_{2}$ ．

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