广东省汕头市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | | x - 1 | < 2} ， B = {y | y = 2^{x} ， x \in [0 ， 2]} ，$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $[1 ， 3)$ D、 $(1 ， 4)$

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2. 已知复数z满足 $(1 - i) z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{2022}$ 的值为（）

A、-2022 B、1 C、-1 D、2022

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3. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{8} = 4 a_{3}$ ， $a_{7} = - 2$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、-6 B、-4 C、-2 D、2

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - s i n x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 二项式 ${(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{24}$ 展开式中，有理项共有（）项．

A、3 B、4 C、5 D、7

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6. 已知椭圆C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线AB过 $F_{1}$ 与该椭圆交于A，B两点，当 $△ F_{2} A B$ 为正三角形时，该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 若 $λ s i n 16 0^{∘} + t a n 2 0^{∘} = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x$ ，若过点 $P (1 ， t)$ 存在3条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，则t的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 1)$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 3] ∪ (- 1 ， 1)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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二、多选题

9. 已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（）

A、ac（a-c）>0 B、c（b-a）<0 C、 $c b^{2} < a b^{2}$ D、 $a b > a c$

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10. 如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）

A、相关系数r变大 B、残差平方和变大 C、相关指数R²变小 D、解释变量x与预报变量y的相关性变强

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11. 设a，b，c都是正数，且 $4^{a} = 6^{b} = 9^{c}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b + b c = 2 a c$ B、 $a b + b c = a c$ C、 $4^{b} \cdot 9^{b} = 4^{a} \cdot 9^{c}$ D、 $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 C、异面直线AP与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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三、填空题

13. 中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a²+b²=c²（a，b，c∈N^*），我们把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是．

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14. 在边长为1的等边三角形ABC中，设 $\vec{B C}$ =2 $\vec{B D} ， \vec{C A}$ =3 $\vec{C E}$ ，则 $\vec{A D} · \vec{B E}$ =.

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15. 如图从双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $b > a > 0$ ）的左焦点F引圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为T，延长 $F T$ ，交双曲线右支于P，若M为线段 $F P$ 的中点，O为原点，则 $| M O | - | M T |$ 的值为（用 $a 、 b$ 表示）．

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16. 若 $c o s^{5} θ - s i n^{5} θ < 7 (s i n^{3} θ - c o s^{3} θ) (θ \in [0 ， 2 π))$ ，则 $θ$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $n^{2} (n \geq 4)$ 个正数排成n行n列， $a_{i j}$ 表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知 $a_{24} = 1$ ， $a_{42} = \frac{1}{8}$ ， $a_{43} = \frac{3}{16}$ ．

(1)、求公比q；

(2)、记第n行的数所成的等差数列的公差为 $d_{n}$ ，把 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， …… $d_{n}$ 所构成的数列记作数列 ${d_{n}}$ ，求数列 ${d_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
$a_{14}$
……
$a_{1 n}$
$a_{21}$
$a_{22}$
$a_{23}$
$a_{24}$
……
$a_{2 n}$
$a_{31}$
$a_{32}$
$a_{33}$
$a_{34}$
……
$a_{3 n}$
……
……
……
……
……
……
$a_{n 1}$
$a_{n 2}$
$a_{n 3}$
$a_{n 4}$
……
$a_{n n}$

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18. 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用 $X$ 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知钝角△ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， $a = b t a n A$ ．

(1)、证明： $B - A = \frac{π}{2}$ ；

(2)、若 $s i n C - s i n A c o s B = \frac{3}{4}$ ，求△ABC的面积．

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20. 如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点． $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角 $E - B C - D$ 的大小为30°，且 $\vec{A E} = t \vec{A D}$ ．

(1)、求t的值；

(2)、对于平面ACD内的动点P总有 $O P / /$ 平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得 $O P / /$ 平面BEC的理由．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 $G ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．

(1)、求证：点P的纵坐标为定值；

(2)、若F是抛物线C的焦点，证明： $∠ P F A = ∠ P F B$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + a$ ，其中 $e$ 是自然对数底．

(1)、求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $a > 0$ 时，设 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $f (3 l n a) > f^{'} (\frac{2 x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}})$ ．

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$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$	……	$a_{1 n}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$	$a_{24}$	……	$a_{2 n}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$	$a_{34}$	……	$a_{3 n}$
……	……	……	……	……	……
$a_{n 1}$	$a_{n 2}$	$a_{n 3}$	$a_{n 4}$	……	$a_{n n}$