广东省茂名市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 5}$ ， $B = {x | y = \sqrt{4 x + 2}}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 3 ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 5)$ C、 $[- 3 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 5)$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 平面非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 $f (x) = x - s i n x$ ，则不等式 $f (2 m + 1) + f (1 - m) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， 0)$

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5. 由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图表如下，下列说法中正确的是（）
中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）

A、中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元 B、中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元 C、中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额＝贸易出口额－贸易进口额） D、中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定

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6. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式 $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n = l o g_{\frac{3}{2}} 2$ 为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 10 A$ 时，放电时间 $t = 57 h$ ，则当放电电流 $I = 15 A$ ，放电时间为（）

A、28h B、28.5h C、29h D、29.5h

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7. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\frac{s i n α}{1 + t a n α}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{14}}{51}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{13}$ C、 $\frac{4 \sqrt{17}}{51}$ D、 $\frac{2 \sqrt{17}}{13}$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且 $| O N | = 2 | B M |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = a^{2} - 1 + a i$ ， $z_{2} = 1 + (a - 1) i (a \in R)$ ，若 $z_{1} - 2 z_{2}$ 为实数，则下列说法中正确的有（）

A、 $| z_{1} | = \sqrt{13}$ B、 $z_{1} z_{2} = 5 + 5 i$ C、 $z_{2}^{10}$ 为纯虚数 D、 $\frac{{\bar{z}}_{1}}{z_{2}}$ 对应的点位于第三象限

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10. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{12}$ B、所有项的系数和为 $3^{12}$ C、二项式系数最大的项为第6项或第7项 D、有理项共5项

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11. 已知函数 $f (x) = (c o s x - | s i n x |) \cdot (c o s x + s i n x)$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2} ， - π]$ 内单调递增 C、若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} = π + 2 k π (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的对称轴是 $x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

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12. 棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点 $\vec{B_{1} G} = λ \vec{B_{1} C} (0 ≤ λ ≤ 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、三棱锥 $F - A_{1} E G$ 的体积为定值 B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $E G C_{1}$ 截正方体所得截面的周长为 $6 \sqrt{5} + \sqrt{17}$ C、直线FG与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的取值范围是 $[\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 2 \sqrt{2}]$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球的表面积为 $\frac{153}{4} π$

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三、填空题

13. 已知正实数m，n满足 $m + 2 n = 1$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{n + 2}{n}$ 的最小值为．

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14. 正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ， D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为．

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15. 以抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 为圆心的圆交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D ， E$ 两点，已知 $| A B | = 8$ ，则 $| D E | =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e l n x} ， x > 1 \\ x^{3} - 3 x + a ， x \leq 1 \end{array}$ ，若存在实数t使得函数 $y = {[f (x)]}^{2} - (t + 2) f (x) + 2 t$ 有7个不同的零点，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a s i n A - c s i n C = (a - b) s i n B$ ， $b = 5$ ， $c c o s A = 1$ ．

(1)、求C；

(2)、求△ABC的面积．

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18. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ；甲、乙得2分的概率分别为 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ；甲、乙得1分的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ ．

(1)、求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)、设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

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19. 如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且 $C D = B C = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A A_{1}$ ， E，F分别为 $A_{1} D$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F ∥$ 而ABCD；

(2)、求平面 $A A_{1} D$ 与平面 $C_{1} E B$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 8$ ， $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 3 a_{n}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (2 n^{2} + 6 n + 5)}{l o g_{3}^{2} (1 + a_{n + 1}) \cdot l o g_{3}^{2} (1 + a_{n + 2})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 2 > b > 0)$ 的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， △AOF的面积为1．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作 $M E ⊥ x$ 轴于点E，过点N作 $N Q ⊥ x$ 轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于 $\frac{\sqrt{5}}{16}$ ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a c o s x + x s i n x + b$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为 $y = \frac{π}{2} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上的单调区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{5 π}{4}]$ 时，是否存在实数m使得 $f (x) ≤ m (x - π)$ 恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附： $\sqrt{2} (π^{2} + 4) \approx 19.6$ ， $5 π + 4 \approx 19.7$ ）．

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