广东省广州市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-05-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{m - i}{1 + i}$ 是实数，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ B、 $y = | x | - x^{2}$ C、 $y = | x | - 1$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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3. 某种包装的大米质量 $ξ$ （单位： $k g$ ）服从正态分布 $ξ ∼ N (10 ， σ^{2})$ ，根据检测结果可知 $P (9.98 \leq ξ \leq 10.02) = 0.98$ ，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在 $10.02 k g$ 以上的袋数大约为（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = π$ ，则 $t a n (a_{1} + a_{9}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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5. 如果函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 的图像关于点 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称，则 $| φ |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（）

A、甲胜乙 B、乙胜丙 C、乙平丁 D、丙平丁

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7. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ ，圆 $C_{2} ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与 $C_{1}$ 交于A、B两点，与 $C_{2}$ 交于M、N两点，若 $| A B | = 8$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若集合 $M = {x | x^{2} < x} ， N = {x | x^{2} < l o g_{a} x}$ ，且 $N \subseteq M$ ﹐则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， e^{\frac{1}{e}}]$ B、 $(0 ， 1) ∪ [e^{\frac{1}{e}} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， e^{\frac{1}{2 e}}]$ D、 $(0 ， 1) ∪ [e^{\frac{1}{2 e}} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）

A、事件A与事件B互为对立事件 B、事件A与事件B相互独立 C、 $P (B) = 2 P (A)$ D、 $P (A) + P (B) = 1$

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10. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是正方形，E在底面圆周上， $A E = B E ， A F ⊥ D E$ ， F是垂足，G在BD上， $D G = 2 B G$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A F ⊥ B D$ B、直线DE与直线 $A G$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ C、直线DE与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ． D、若平面 $A F G ∩$ 平面 $A B E = l$ ，则 $l ∥ F G$

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11. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - 1} - 2 b + 1$ 相切，则下列不等式成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \leq 8$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $3^{a + b} \leq \sqrt{3}$

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12. 我们常用的数是十进制数，如 $1079 = 1 × 1 0^{3} + 0 × 1 0^{2} + 7 × 1 0^{1} + 9 × 1 0^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $110 1_{(2)} = 1 × 2^{3} + 1 × 2^{2} + 0 × 2^{1} + 1 × 2^{0}$ ，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为 $M (m ， n)$ ，其中m， $n \in N^{*} ， n \geq 2$ ， $M (m ， n)$ 为十进制的数，则下列结论中正确的是（）

A、 $M (5 ， 2) = 31$ B、 $M (4 ， 2) = M (2 ， 4)$ C、 $M (n + 2 ， n + 1) < M (n + 1 ， n + 2)$ D、 $M (n + 2 ， n + 1) > M (n + 1 ， n + 2)$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ ．

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14. 写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ﹔③焦距大于10

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15. 函数 $f (x) = s i n π x - l n | 2 x - 3 |$ 的所有零点之和为．

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16. 在梯形ABCD中， $A B ∥ C D ， A B = 2 ， A D = C D = C B = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，连接BD，得到三棱锥 $D - A B C$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为．此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 问题：已知 $n \in N^{*}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，是否存在数列 ${a_{n}}$ ，满足 $S_{1} = 1 ， a_{n + 1} ≥ 1 + a_{n}$ ， _________﹖若存在．求通项公式 $a_{n}$ ﹔若不存在，说明理由．
在① $a_{n + 1} = 2 (\sqrt{S_{n + 1}} + \sqrt{S_{n}})$ ﹔② $a_{n} = S_{n - 1} + n (n \geq 2)$ ；③ $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1

(1)、从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求 $P (X = 1)$ ；

(2)、将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 ° ， ∠ D = 60 ° ， A C = 6 ， C D = 3 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $c o s ∠ A C B = \frac{9}{16}$ ，求 $A B + \frac{3}{4} B C$ 的值；

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20. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 ° ， E F ∥ A C ， A C = 2 E F$ ，平面 $A E F C ⊥$ 平面 $A B C D ， A E = A B$ ．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A E F C$ ；

(2)、若 $A E ⊥ A C$ ，求二面角 $A - C F - D$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为4；

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (- 3 ， 0)$ 作两条相互垂直的直线上 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足 $\frac{| A Q |}{| Q B |} = \frac{| A P |}{| P B |}$ ，直线 $l_{2}$ 交y轴于点R，求 $△ P Q R$ 面积的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x l n x - x^{2} - m x + 1$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $m < 0 ， 0 < b < a$ ，证明： $2 l n \frac{a + b}{a - b} < \frac{4 a b}{a^{2} - b^{2}} - m$ ．

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成绩等级	优	良	合格	不合格
频数	7	11	41	1