云南省玉溪市红塔区2021-2022学年高二下学期数学4月第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1. 复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = | \sqrt{3} + i |$ ，则 $z$ 在复平面内的对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 顶点在原点，对称轴为 $y$ 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）

A、 $x^{2} = 16 y$ B、 $x^{2} = \pm 16 y$ C、 $x^{2} = \pm 8 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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3. 设 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ， $a < b < 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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4. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 $0 ~ 255$ .在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）

A、 $256^{3}$ B、27 C、 $255^{3}$ D、6

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中，对角线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知互不重合的直线 $a$ ， $b$ ，互不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，给出下列四个命题，错误的命题是（）

A、若 $a / / α$ ， $a / / β$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a / / b$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $α / / β$ ， $a / / α$ ，则 $a / / β$

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7. 已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左焦点，点 $A (1 ， 4)$ ， $P$ 是双曲线右支上的动点，则 $| P F | + | P A |$ 的最小值为（）

A、9 B、5 C、8 D、4

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其外接球的表面积为（）

A、188π B、185π C、177π D、173π

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二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.错选得0分，漏选得2分.）

9. 下列统计量中，能度量样本 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的离散程度的是（）

A、样本 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数 B、样本 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的中位数 C、样本 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的极差 D、样本 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的标准差

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10. 在公比 $q$ 为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} a_{4} = 32$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， 0) \cup (0 ， 4]$ 上的奇函数，当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x)$ 的图象如图所示，那么满足不等式 $f (x) - 3^{x} + 1 \geq 0$ 的x的可能取值是（）

A、-4 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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12. 已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P ，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，若椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，则关于 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} = 2$ B、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 2$ C、 $e_{1} e_{2} < 1$ D、 $e_{1} e_{2} > 1$

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三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. 设函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ ，则 $f' (π) =$ .

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14. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， $...$ ，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为；

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ），则 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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16. 曲线C是平面内与两个定点 $F_{1} (0 ， 1) ， F_{2} (0 ， - 1)$ 的距离的积等于 $\frac{3}{2}$ 的点P的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；② $△ F_{1} P F_{2}$ 周长的最小值为 $2 + \sqrt{6}$ ；

③点P到y轴距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；④点P到原点距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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四、解答题（本大题共6个小题，共70分.）

17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + b x$ $(a ， b \in R)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线斜率为3，且 $f (- 3) = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若直线 $l_{1} ： x - y + 2 = 0$ 与圆C相交于A ， B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求圆C的方程.

(2)、请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l₂的方程.
①（2，－3）；②（1， $\sqrt{3}$ ）.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知角A ， B ， C是△ABC的内角，向量 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (\sin (π - A) ， \sin (A - \frac{π}{2}))$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求函数 $y = 2 \sin^{2} B + \cos (\frac{π}{3} - 2 B)$ 的值域.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - 1$ ．

(1)、设x=2是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；

(2)、证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点 $A$ 与上顶点 $B$ 的距离为 $\sqrt{6}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和焦点的坐标；

(2)、点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，线段 $A P$ 的垂直平分线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ ，若 $Δ P A Q$ 为等边三角形，求点 $P$ 的横坐标．

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