浙江省温州市新力量联盟2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A (3 ， - 2)$ ，若 $\vec{A B} = (2 ， 3)$ ，则B点的坐标为（）

A、 $(1 ， - 5)$ B、 $(- 5 ， 1)$ C、 $(5 ， 1)$ D、 $(1 ， 5)$

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2. 下列几何体不属于棱柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在正六边形ABCDEF中，向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{C D}$ 上的投影向量是 $m \vec{C D}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $-$ 1

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4. 若直线 $a$ 不平行于平面 $α$ 且 $a ⊄ α$ ，则下列结论成立的是（）

A、平面 $α$ 内的所有直线与 $a$ 异面 B、平面 $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 C、平面 $α$ 内存在唯一的直线与 $a$ 平行 D、平面 $α$ 内的直线与 $a$ 都相交

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5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 $24 π$ ，则该模型中圆柱的体积为（）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、4π C、16π D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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6. 用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．已知点 $O^{'}$ 是斜边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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7. 若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积 $S = a^{2} s i n C$ ， $c = 6$ ，角C平分线CM交边AB于点M，则AM的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 根据下列条件，能确定向量 $\vec{a}$ 是单位向量的是（）

A、 $\vec{a} = (1 ， 1)$ B、 $\vec{a} = (- 1 ， 0)$ C、 $\vec{a} = (c o s 38 ° ， c o s 52 °)$ D、 $\vec{a} = \frac{\vec{m}}{| \vec{m} |} (| \vec{m} | \neq \vec{0})$

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10. 已知复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $i z = 1 + i$ ，则（）

A、z的实部是1 B、z的虚部是 $- i$ C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $| z | = 2$

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11. 已知向量满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、 $1 \leq | \vec{a} | \leq 3$ B、 ${\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} = 10$ C、 $4 \leq | \vec{a} | + | \vec{b} | \leq 2 \sqrt{5}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$

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12. 在钝角 $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则边BC的值可能为（）

A、7 B、9 C、12 D、16

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三、填空题

13. 若直线 $A B ∩ α = A$ ，则B $α$ ．（用数学符号语言填写）

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14. 若 $z = (m + 3) + (m - 1) i$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围.

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15. 始建于宋朝的江心屿江西东塔为温州的地标建筑，历史上为行驶瓯江上下的船只起到航标作用，因此也成为世界历史名胜灯塔百强之一，世界航标遗产之一．现某学校开展研究性活动测量东塔高度，如图所示，选取了与塔底O同一水平内的两个基测点C与D（人的身高不计），塔底O在基测点C南偏西70°方向上，且测得东塔塔顶A的仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进28到点D处，测得东塔塔顶A的仰角为30°，则塔高约为m．

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16. 在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为线段 $B C$ 上一点（不包括端点），若 $\vec{A C} = m \vec{A M} + n \vec{A N}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (4 \vec{a} - 3 \vec{b}) = - 6$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ．

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18. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $\vec{m} = (1 ， 1)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{2} ， t a n A)$ ， $\vec{p} = (b ， - 3 s i n (A + C))$ ， $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，求a的值．

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 6 - c$ ， $b = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， D为BC的三等分点（靠近B点）．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C A}$ ，求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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21. 如图

(1)、现有3张不同形状的纸片：平行四边形、正三角形、矩形（尺寸如图所示），要求选择其中2张，设计两种方案，每张纸折成一个正三棱锥模型，使它的全面积都与原纸片的面积相等，用虚线标示在图中，并作简要说明；（如多选，按前两种给分）

(2)、用（1）中正三角形的纸片，剪拼成一个正三棱柱模型，使它的全面积与原三角形面积相等，用虚线标注在图中，并作简要说明，求出你折成的正三棱锥和正三棱柱体积的大小．

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22. 瓯江是温州、丽水人民的母亲河，为了体现“绿水青山”理念特举办游渡瓯江活动，现调查发现：比赛区域的瓯江江流平均宽度2.1km（即起点A处到对岸B的垂直距离），一名游泳爱好者室内游泳平均速度为60m/min．在热身环节时，游泳爱好者一直沿AB方向游去，在下游C处上岸，距离B处1.75km．

(1)、假设水流匀速，求水流速度多少？

(2)、比赛规定，运动员上岸点距离B处不超过 $\frac{7 \sqrt{3}}{10} k m$ 时成绩有效．活动时，该游泳爱好者保持 $θ$ 方向不变游泳前进（记运动员游泳前进方向与AB的夹角记为 $θ$ ），为比赛成绩最好，求 $s i n θ$ 的值．

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